Salut,
Exercice 2 :
1)a)
Développement:
f(x) = (4x - 2)(3x + 2) - (4x-3)(4x-2)
f(x) = 12x² + 8x - 6x - 4 - (16x² - 8x - 12x + 6)
f(x) = 12x² + 2x - 4 -(16x² - 20x + 6)
f(x) = 12x² + 2x - 4 - 16x² + 20x - 6
f(x) = -4x² + 22x - 10
Factorisation:
f(x) = (4x - 2)(3x + 2) - (4x-3)(4x-2) -> On repérè le facteur commun (4x-2)
f(x) = (4x-2)[3x + 2 - (4x-3)] -> On oublie pas les parenthèses !
f(x) = (4x-2)(3x + 2 -4x + 3)
f(x) = (4x-2)(5 - x) -> Ici, (4x-2) peut se factoriser en : 2(2x-1)
f(x) = 2(2x-1)(5-x)
2)
a)
f(x) = 2(2x-1)(5-x) -> On remplace x par 3
f(3) = 2(2*3 - 1)(5 - 3)
f(3) = 2(6 - 1) * 2
f(4) = 4*5 = 20
L'image de 3 par f est 20.
b)
On sait que f(x) = 2(2x-1)(5-x)
2x - 1 est croissante sur R car le coefficient directeur est positif ( 2 ) et s'annule en 1/2
5 - x est décroissante sur R car le coefficient directeur est négatif ( - 1) et s'annule en 5.
on a donc f(x) < 0 quand x ∈ ]1/2; 5[
Exercice 3 :
1)a)
On a : f(x) = -x² + 4x + 5
f(-3/2) = -(-3/2)² + 4 * (-3/2) + 5
f(-3/2) = -9/4 - 12/2 + 5
f(-3/2) = -9/4 - 6 + 5
f(-3/2) = -9/4 -1
f(-3/2) = -9/4 - 4/4 = -13/4
b)
On veut que f(x) = 5
-x² + 4x + 5 = 5
-x² + 4x + 5 - 5 = 0
-x² + 4x = 0
x(-x + 4) = 0
x = 0 ou -x + 4 = 0 ; -x = -4; x = 4
2)
a) On développe l'expression donnée :
f(x) = 9 - (x-2)²
f(x) = 9 - (x² - 4x + 4)
f(x) = 9 - x² + 4x - 4
f(x) = -x² + 4x + 5
b)
On sait que f(x) = 9 - (x-2)² , donc:
f(x) = 9 - (x-2)²
f(x) = 3² - (x-2)²
f(x) = (3 - (x-2))(3 + (x-2))
f(x) = (3 - x + 2)(3 + x - 2)
f(x) = (5 -x) * x
f(x) = x(5-x)
On a x croissant sur R et 5-x décroissante sur R, et s'annulant en x = 5
On a donc f(x) décroissante sur -infini 5, puis croissante sur 5 + infini
3)a)
4-(x-1)² = 2² - (x-1)² = (2 + (x-1))(2-(x-1)) = (2 + x - 1)(2-x+1) = (x+1)(3-x)
b)
(x+1)(3-x) = 0
x + 1 = 0
x = -1
3 - x = 0
-x = -3
x = 3.
On peut donc en déduire que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3.
c)
f(x) ≤ 0
x + 1 est croissant sur x et s'annule en -1, 3-x est décroissante sur x et s'annule en 3.
On a donc f(x) décroissante, puis croissante, d'autre part elle passe deux dois sous l'axe des abscisse, c'est donc à ce moment là qu'elle est négative.
f(x) ≤0 quand x ∈ [-1;3]
4) Tu construis
Bonne soirée!
