Bonsoir,
Exercice 1
[tex]A=\dfrac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\dfrac{3\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{3^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{3\sqrt{3}+3}{9-3}\\\\=\dfrac{3\sqrt{3}+3}{6}=\dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{6}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}[/tex]
[tex]\boxed{A=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}[/tex]
[tex]B=\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{\sqrt{11}-\sqrt{3}}=\dfrac{(\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})}=\dfrac{(\sqrt{11}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{11})^2-(\sqrt{3})^2}\\\\=\dfrac{(\sqrt{11})^2+2\sqrt{11}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{11-3}=\dfrac{11+2\sqrt{33}+3}{8}=\dfrac{14+2\sqrt{33}}{8}\\\\=\dfrac{2(7+\sqrt{33})}{8}=\dfrac{7+\sqrt{33}}{4}[/tex]
[tex]\boxed{B=\dfrac{7+\sqrt{33}}{4}}[/tex]
[tex]C=\dfrac{3-4\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}=\dfrac{(3-4\sqrt{7})(2+\sqrt{7})}{(2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7})}=\dfrac{6+3\sqrt{7}-8\sqrt{7}-4(\sqrt{7})^2}{(2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7})}\\\\=\dfrac{6-5\sqrt{7}-4\times7}{2^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{6-5\sqrt{7}-28}{4-7}=\dfrac{-22-5\sqrt{7}}{-3}\\\\=\dfrac{-(22+5\sqrt{7})}{-3}=\dfrac{22+5\sqrt{7}}{3}[/tex]
[tex]\boxed{C=\dfrac{22+5\sqrt{7}}{3}}[/tex]
Exercice 2
[tex]f:x \mapsto 5+\dfrac{1}{2-4x}[/tex]
1) Condition : 2 - 4x ≠ 0
-4x ≠ -2
x ≠ -2/(-4)
x ≠ 1/2
L'ensemble de définition de f est Df = R \ {1/2}.
2) [tex]f(x)= 5+\dfrac{1}{2-4x}\\\\f(x)= \dfrac{5(2-4x)}{2-4x}+\dfrac{1}{2-4x}\\\\f(x)= \dfrac{5(2-4x)+1}{2-4x}\\\\f(x)= \dfrac{10-20x+1}{2-4x}\\\\f(x)= \dfrac{11-20x}{2-4x}\\\\f(x)= \dfrac{-20x+11}{-4x+2}[/tex]
Donc f est une fonction homographique car f(x) est de la forme [tex]f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\ \ avec\ \ ad-bc\neq0[/tex]
En effet : a = -20 ; b = 11 ; c = -4 ; d = 2 et ad-bc = (-20)*2 - 11*(-4)
= -40 + 44
= 4 ≠ 0
Exercice 3
1) Calcul de f(-2) en utilisant la 2ème forme.
[tex]f(-2)=2(-2-\dfrac{3}{2})(-2+2)\\\\f(-2)=2(-2-\dfrac{3}{2})\times0\\\\\boxed{f(-2)=0}[/tex]
Calcul de f(-1/4) en utilisant ma 1ère forme.
[tex]f(-\dfrac{1}{4})=2(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{49}{8}\\\\f(-\dfrac{1}{4})=2\times0-\dfrac{49}{8}\\\\f(-\dfrac{1}{4})=0-\dfrac{49}{8}}\\\\\boxed{f(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{49}{8}}[/tex]
Calcul de f(0) en utilisant la 3ème forme.
[tex]f(0)=2\times0^2+0-6\\f(0)=0+0-6\\\boxed{f(0)=-6}[/tex]
2) a) Choisir la 2ème forme.
Résoudre [tex]2(x-\dfrac{3}{2})(x+2)=0\\\\(x-\dfrac{3}{2})(x+2)=0\\\\x-\dfrac{3}{2}=0\ \ ou\ \ x+2=0\\\\x=\dfrac{3}{2}\ \ ou\ \ x=-2[/tex]
Les coordonnées des points d'intersection de P avec l'axe des abscisses sont (3/2 ; 0) et (-2 ; 0)
b) Choisir la 3ème forme
Calculer f(0).
f(0) = -6 (voir partie 1)
Les coordonnées du point d'intersection de P avec l'axe des ordonnées sont (0 ; -6)
Exercice 4
1) Le sommet de la parabole appartient à l'axe de symétrie d'équation : x = 0,5.
Donc, l'abscisse du sommet est 0,5.
L'ordonnée du sommet est [tex]f(0,5) = -3\times(0,5)^2+3\times0,5+2\\f(0,5) = -3\times0,25+3\times0,5+2\\f(0,5) = -0,75+1,5+2\\f(0,5) = 2,75.[/tex]
Les coordonnées du sommet de la parabole sont (0,5 ; 2,75)
2) Variations de f.
f admet un maximum car le coefficient de x² est -3 < 0.
D'où le tableau de variations :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&-\infty&&0,5&&+\infty \\ f(x)=-3x^2+3x+2&&\nearrow&2,75&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Donc f est croissante sur l'intervalle ]-infini ; 0,5] et est décroissante sur l'intervalle [0,5 ; +infini[.
