Réponse :
Bonjour
1) On peut conjecturer que f est décroissante sur ]-∞ ; 2[,qu'elle s'annule en 2 et qu'elle est croissante sur ]2 ; +∞[
2) f(b) - f(a) = (b-2)² - (a-2)² = b² - 4b + 4 - a²+ 4a - 4
f(b) - f(a) = b² - a² - 4b + 4a = (b-a)(b+a) -4(b-a)
f(b) - f(a) = (b-a)(b+a-4) = (b-a)(a+b-4)
3) a < b <2
a) comme a < b , b -a > 0
b) a < 2 ⇔ a + b < 4 donc a +b - 4 < 0
b < 2
On a donc (b-a)(a+b-4) < 0 donc f(b) - f(a) < 0 donc f(b) < f(a)
c) On a a < b et f(a) > f(b) .La fonction f est donc décroissante sur ]-∞ ; 2[
4) 2 < a < b
b-a > 0 et a+b-4 > 0
donc (b-a)(a+b-4) >0
donc f(b) - f(a) > 0 ⇔ f(b) > f(a)
On a donc a < b et f(a) < f(b) .La fonction f est donc croissante sur ]2 ; +∞[
5) La fonction f admet un minimum, au point d'abscisse 2 , et ce minimum vaut 0
