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Pitipitchou69
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Bonjour HELP   SVP  !!! je suis vraiment nul sur les suites
s'il vous plait je vous en prie aidez moi

Bonjour HELP SVP Je Suis Vraiment Nul Sur Les Suitessil Vous Plait Je Vous En Prie Aidez Moi class=
Bonjour HELP SVP Je Suis Vraiment Nul Sur Les Suitessil Vous Plait Je Vous En Prie Aidez Moi class=

Sagot :

1) f(x)=(5x+1)/(x+5)
f'(x)=(5(x+5)-5x-1)/(x+5)²=24/(x+5)²
donc f'(x)>0
donc f est croissante sur [0;+inf[

2) a) on effectue un "tracé en chemins" pour construire la suite (u)
b) conjectures :
- (u) est décroissante
- (u) est convergente vers 1

3) a) Récurrence sur n :
- Initialisation : u(0)=3 et u(1)=2 donc 0≤u(1)≤u(0)≤3
- Hérédité : on suppose que : 0≤u(n+1)≤u(n)≤3
                 puisque f est croissante on a : f(0)≤f(u(n+1)≤f(u(n))≤f(3)
                 donc 0,2≤u(n+2)≤u(n+1)≤2
                 donc 0≤u(n+2)≤u(n+1)≤3
- Conclusion : pour tout entier n : 0≤u(n+1)≤u(n)≤3

b) la suite (u) est donc décroissante et minorée par 0
d'après le th de convergence monotone de Lebesgue, (u) est convergente

4) d'après le th du point fixe la limite L de(u) vérifie f(L)=L
donc (5L+1)/(L+5)=L
donc 5L+1=L²+5L
donc L²=1
donc L=1 car L>0
donc (u) converge vers 1
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