a)On se place dans le triangle ABP. Montrer que BP=8 et que AP=17
Par définition :
BC=AD=9.6 (les côtés opposés du rectangle ABCD sont de même mesure)
et BP = BC × [tex]\frac{5}{6} [/tex]=[tex] \frac{9,6}{\frac{5}{6}}[/tex]= 8
En présence du triangle APB rectangle en B on utilise le théorème de Pythagore pour calculer AP
AP² = AB² + AP²
AP²= 15² + 8²
AP² = 225 + 64
AP = [tex] \sqrt{289} [/tex]
AP = 17
AP mesure 17 cm.
b) Exprimer en fonction de [tex]x[/tex] la longueur PN puis la longueur de NK
MA = NB = [tex]x[/tex]
PN = PB - NB = 8 - x
Configuration "papillon" de Thalès
Si on a trois points alignés N, K et M puis P, K et A, alors (AM) // (NP)
Rapports de proportionnalité
[tex] \frac{NP}{AM} = \frac{NK}{KM}= \frac{KP}{KA} [/tex]
Je remplace par les valeurs que je connais
[tex] \frac{NP}{AM}= \frac{8 - x}{x} [/tex]
[tex] \frac{NK}{NM}= \frac{NK}{15} [/tex]
NK = [tex] \frac{15 * (8 - x)}{x} [/tex] = [tex] \frac{120-15x}{x} \\ \\ x = 8[/tex]
d'où NK = [tex] \frac{15(8-x)}{8} [/tex]
c) Exprier en fonction de x l'aire du triangle PNK
Aire du triangle PNK = [tex] \frac{NP * NK}{2} [/tex]
Aire = 15 ×[tex] \frac{(8-x)^2}{16} [/tex]
d) Montrer que MK = [tex] \frac{15}{8} x[/tex] et en déduire l'aire du triangle AMK en fonction de [tex]x[/tex]
[tex] \frac{MK}{NK} = \frac{MA}{NP} \\ \\ MK = \frac{NK * MA}{NP} [/tex]
MK = [tex] \frac{(15*(8-x)}{8} * \frac{x}{(8-x)} [/tex]
MK = [tex] \frac{15*x}{8} [/tex]
Aire de AMK = [tex] \frac{AM * MK}{2} = \frac{15*x^2}{16}[/tex]
e) Déterminer [tex]x[/tex] pour que l'aire du triangle AMK soit égale à l'aire du rectangle ABCD divisée par 15.
Aire AMK = Aire [tex]\frac{ABCD}{15} [/tex]
Aire AMK = [tex] \frac{15 * x^{2} }{16} = \frac{15*9,6}{15}[/tex]
[tex] x^{2} = \frac{16*9,6}{15} [/tex]
[tex]x[/tex]= [tex] \sqrt{ \frac{16 * 9,6}{15}} [/tex]
[tex]x[/tex] = 3.2
Il faut que [tex]x[/tex] soit égal à 3,2 cm pour que l'aire du triangle AMK soit égale à l'aire du rectangle ABCD divisée par 15.
f) Les triangles AMK et PNK peuvent ils avoir la même aire ? Si oui pour quelle(s) valeur(s)de [tex]x[/tex] ?
aire AMK= aire PNK
[tex] \frac{15* x^{2}}{16} = \frac{15*(8-x)^{2}}{16} [/tex]
[tex] x^{2} = (8 - x)^2[/tex] = -16 * [tex]x[/tex] + 64 = 0
[tex]x[/tex] = 4
PARTIE B : On donne TK = 10 cm
a) Calculer le volume V₁ de P₁
Volume P₁= aire ABCD*[tex] \frac{TK}{3} [/tex] = [tex] \frac{15*9,6*10}{3} [/tex] = 480 cm³
b) Exprimer en fonction de [tex]x[/tex] le volume V₂[tex](x)[/tex] en cm³ de P₂
Volume P₂ = aire AMK × [tex] \frac{TK}{3} [/tex] = [tex] \frac{(15 * x^{2}}{16}) * \frac{10}{3} = \frac{50*x^{2}}{16} [/tex]
Le volume en cm³ de P₂ est V₂([tex]x[/tex]) = [tex] \frac{25 x^{2}}{8} [/tex]
c)Pour quelle valeur exacte de [tex]x[/tex] a t-on 36 V₂ = V₁ ?
[tex] \frac{36*25* x^{2}}{8} = 480 \\ \\ je simplifie par 8 d'où = 60 \\ \\ 25x² = 60-36 = 24
x² = 24/25
x= [tex] \sqrt{24/25} [/tex]
x = [tex] \frac{2 \sqrt{6} }{5} [/tex]
d) l'énoncé est confus pour moi donc j'ai du mal
Ceci dit je pense que l'image de 6 est de 110 (on voit mal)
l'antécédent de 50 est 4 (mais pas sûr on voit mal le graphique est très sombre et très petit en taille)
e) remplacer [tex]x[/tex] par sa valeur.
V₁ : je prends x = 6
[tex] \frac{25 x^{2} }{8} = 112,5[/tex] ce qui est cohérent avec le 110 lu sur un graphique sombre et minuscule !! (lol)
L'autre je n'arrive pas à lire mais c'est sur le même principe
L'antécédent c'est l'équation (du V dont je n'arrive pas à distinguer le n°) = ................. = 50 et tu retrouves x
