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Sagot :
f(x) = ln ((1-x)/(1+x)) sur ] -1 ; 1 [
a) Quelle propriété de symétrie peut-on conjecturer?
Cf est symétrique par rapport à O(0;0)
B) montrer que f est impaire
f(-x)=ln ((1-(-x))/(1+(-x)))=ln ((1+x)/(1-x))
-f(x)=-ln ((1-x)/(1+x))=ln ((1+x)/(1-x))
donc f(-x)=-f(x)
donc f est impaire sur ]-1;1[
c) etudier la fonction f (variations et limites )
f'(x)=[(1-x)/(1+x)]' * 1/ [(1-x)/(1+x)]
=(-1-x-1+x)/(1+x)²*(1+x)/(1-x)
=(-2)(1+x)/((1+x)²(1-x))
=(-2)/(1-x²)
=2/(x²-1)
si -1<x<1 alors x²-1<0
donc f'(x)<0 donc f est décroissante sur ]-1;1[
de plus lim(f(x),-1)=+inf et lim(f(x),1)=-inf
a) Quelle propriété de symétrie peut-on conjecturer?
Cf est symétrique par rapport à O(0;0)
B) montrer que f est impaire
f(-x)=ln ((1-(-x))/(1+(-x)))=ln ((1+x)/(1-x))
-f(x)=-ln ((1-x)/(1+x))=ln ((1+x)/(1-x))
donc f(-x)=-f(x)
donc f est impaire sur ]-1;1[
c) etudier la fonction f (variations et limites )
f'(x)=[(1-x)/(1+x)]' * 1/ [(1-x)/(1+x)]
=(-1-x-1+x)/(1+x)²*(1+x)/(1-x)
=(-2)(1+x)/((1+x)²(1-x))
=(-2)/(1-x²)
=2/(x²-1)
si -1<x<1 alors x²-1<0
donc f'(x)<0 donc f est décroissante sur ]-1;1[
de plus lim(f(x),-1)=+inf et lim(f(x),1)=-inf
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