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Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à trouver la primitive de xe^(-x).
Je sais que la primitive vaut -(1+x)e^(-x)  mais je n'arrive pas à trouver comment.
Merci d'avance.

PS : j'ai beaucoup vu sur internet des calculs faits avec des intégrations par parties, je ne sais pas ce que c'est, je ne l'ai pas fait en cours.

Sagot :

Bonjour,

Supposons qu'une primitive de x.e^(-x) est de la forme F(x) = (ax+b).e^(-x).
Par définition d'une primitive, [(ax+b).e^(-x)] ' = xe^(-x).
Or [(ax+b).e^(-x)] ' = (ax+b)'.e^(-x) + (ax+b).(e^(-x))'
[(ax+b).e^(-x)] ' = a.e^(-x) + (ax+b).[-e^(-x)]
[(ax+b).e^(-x)] ' = [a - (ax+b)].e^(-x)
[(ax+b).e^(-x)] ' = (a - ax - b).e^(-x)
[(ax+b).e^(-x)] ' = (-ax + a - b).e^(-x)

Vu que [(ax+b).e^(-x)] ' = x.e^(-x), nous en déduisons que (-ax+a-b).e^(-x) = x.e^(-x)
soit que -ax + a - b = x.

soit -a.x + (a-b) = 1.x + 0

Par identification des deux membres (identification des coefficients de x et identification des termes indépendants), nous avons : 
-a = 1
a - b = 0

a = -1
-1 - b = 0

a = -1
b = -1.

D'où, une primitive de x.e^(-x) est F(x) = (-1.x - 1).e^(-x), soit F(x) = -(x+1).e^(-x).
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