Bonsoir,
Un arbre pondéré est donné en pièce jointe.
1) [tex]p(E)=p(V \cap V)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}\\\\
p(F) = p(B \cap B)+p(R \cap R)+p(V \cap V)\\\\p(F)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16}\\\\p(F)=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}\\\\p(F)=\dfrac{1}{16}+\dfrac{4}{16}+\dfrac{1}{16}\\\\p(F)=\dfrac{6}{16}\\\\p(F)=\dfrac{3}{8}[/tex]
2) Soit X la variable aléatoire dont les valeurs sont le nombre de fois que l'on obtient F.
Puisque les parties sont indépendantes entre elles et qu'il n'y a que deux issues possibles (F ou pas F), la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p = 3/8.
[tex]p(X\ge2)=1-p(X<2)\\\\=1-(p(X=0)+p(X=1))\\\\=1-p(X=0)-p(X=1)\\\\=1-C\limits_{10}^0(\dfrac{3}{8})^0(\dfrac{5}{8})^{10}-C\limits_{10}^1(\dfrac{3}{8})^1(\dfrac{5}{8})^{9}\\\\=1-1\times1\times(\dfrac{5}{8})^{10}-10\times\dfrac{3}{8}\times(\dfrac{5}{8})^{9}\\\\=1-(\dfrac{5}{8})^{10}-\dfrac{30}{8}\times(\dfrac{5}{8})^{9}\\\\=1-\dfrac{5}{8}\times(\dfrac{5}{8})^{9}-\dfrac{30}{8}\times(\dfrac{5}{8})^{9}[/tex]
[tex]\\\\=1-(\dfrac{5}{8}+\dfrac{30}{8})\times(\dfrac{5}{8})^{9}\\\\=1-\dfrac{35}{8}\times(\dfrac{5}{8})^{9}\\\\=1-7\times\dfrac{5}{8}\times(\dfrac{5}{8})^{9}\\\\=1-7\times(\dfrac{5}{8})^{10}\\\\\approx 0,936[/tex]
