Réponse : Bonjour,
1) Un point [tex]M(x;y) \in d[/tex], si et seulement si
[tex]\overrightarrow{HM}.\overrightarrow{HE}=0\\(8-x;4-y).(-3;-4)=0\\-3(8-x)-4(4-y)=0\\-24+3x-16+4y=0\\3x+4y-40=0\\4y=-3x+40\\y=-\frac{3}{4}x+10[/tex]
Donc une équation réduite de [tex]d[/tex] est [tex]y=-\frac{3}{4}x+10[/tex].
2) Le cercle [tex]\mathcal{C}_{1}[/tex] est le cercle de centre E(5;0) et de rayon EH.
On calcule donc EH, on a vu que à la question précédente, [tex]\overrightarrow{HE}(-3;-4)[/tex], donc:
[tex]EH=||\overrightarrow{HE}||=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25}=5[/tex].
Donc une équation du cercle [tex]\mathcal{C}_{1}[/tex], est:
[tex](x-5)^{2}+y^{2}=5^{2}\\(x-5)^{2}+y^{2}=25[/tex].
3) On a:
[tex]x^{2}-22,5x+y^{2}+125=0\\(x-11,25)^{2}-11,25^{2}+(y-0)^{2}+125=0\\ (x-11,25)^{2}+(y-0)^{2}=1,5625[/tex]
Donc [tex]\mathcal{C}_{2}[/tex], est le cercle de centre K(11,25;0), et de rayon [tex]\sqrt{1,5625}=1,25[/tex].
4) Je ne vous fais pas cette question, car j'avais besoin des questions précédentes, pour faire la question 5.
5)a) Soit [tex]P(x_{p}; y_{p})[/tex], le projeté orthogonal de K sur [tex]d[/tex], alors, comme [tex]\overrightarrow{u}(1;-\frac{3}{4})[/tex], est un vecteur directeur de [tex]d[/tex]:
[tex]\overrightarrow{KP}.\overrightarrow{u}=0\\(x_{p}-11,25; y_{p}-0).(1;-\frac{3}{4})=0\\ 1 \times (x_{p}-11,25)-\frac{3}{4}y_{p}=0\\ x_{p}-11,25-\frac{3}{4}y_{p}=0[/tex]
De plus, comme [tex]P \in d[/tex], alors:
[tex]y_{p}=-\frac{3}{4}x_{p}+10[/tex].
On obtient le système de deux équations à deux inconnues [tex]x_{p}[/tex] et [tex]y_{p}[/tex]:
[tex]\displaystyle \left \{ {{x_{p}-11,25-\frac{3}{4}y_{p}=0} \atop {y_{p}=-\frac{3}{4}x_{p}+10}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_{p}-11,25-\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}x_{p}+10\right)=0} \atop {{y_{p}=-\frac{3}{4}x_{p}+10}} \right.[/tex]
[tex]\displaystyle \left \{ {{x_{p}-11,25+\frac{9}{16}x_{p}-\frac{30}{4}} \atop {{y_{p}=-\frac{3}{4}x_{p}+10}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{\frac{25}{16}x_{p}-\frac{75}{4}=0} \atop {{y_{p}=-\frac{3}{4}x_{p}+10}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_{p}=\frac{75}{4} \times \frac{16}{25}=\frac{12}{1}=12} \atop {{y_{p}=-\frac{3}{4}x_{p}+10}} \right.[/tex]
On calcule [tex]y_{p}[/tex], en remplaçant dans la deuxième équation du système:
[tex]y_{p}=-\frac{3}{4} \times 12+10=-9+10=1[/tex]
Donc P(12;1).
b) La distance du point K à la droite [tex]d[/tex] est la distance KP:
[tex]\displaystyle KP=\sqrt{(12-11,25)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}+1}=\sqrt{\frac{9+16}{16}}\\ KP=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}[/tex]
Donc la distance du point K à la droite [tex]d[/tex] est [tex]\frac{5}{4}[/tex].
c) Pour montrer que P est l'unique point d'intersection de [tex]\mathcal{C}_{2}[/tex] et [tex]d[/tex], il faut montrer que [tex]d[/tex] est tangente au cercle [tex]\mathcal{C}_{2}[/tex], en montrant que KP est un rayon du cercle [tex]\mathcal{C}_{2}[/tex].
Il faut donc que KP=1,25.
Mais d'après la question précédente, on a montré que [tex]KP=\frac{5}{4}=1,25[/tex], donc [KP] est bien un rayon de [tex]\mathcal{C}_{2}[/tex].
Donc la droite [tex]d[/tex] est tangente au cercle [tex]\mathcal{C}_{2}[/tex].
On en déduit que P est l'unique point d'intersection de [tex]\mathcal{C}_{2}[/tex] et [tex]d[/tex], et P est un point de tangence.
