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Sagot :
1) Construire un triangle équilatéral ABC; On note a la longueur AB en centimètre.
Placer le point H, milieu du segment [BC]
figure laissée au lecteur
2) a. Justifier que : (AH) perpendiculaire à( BC)
(AH) représente une médiane
or ABC est équilatéral donc 'AH) est aussi une hauteur
donc (AH) est perpendiculaire à (BC)
b. Justifier que: cos (ABC) = 1/2
cos(ABC)=BH/AB=(a/2)/a=1/2
c. En déduire que cos : (60°) = 1/2
ABC=60° car ABC équilatéral
donc cos(60°)=1/2
3) H Justifier que sin: (30°) 1/2
sin(30°)=sin(BAH)=BH/AB=(a/2)/a=1/2
4) a. sachant que cos: (60°) 1/2 calculer la valeur exacte de sin (60°)
cos²(60°)+sin²(60°)=1
(1/2)²+sin²(60°)=1
sin²(60°)=3/4
sin(60°)=√(3/4)=√3/2
b. En déduire la valeur exacte de tan: (60°)
tan(60°)=sin(60°)/cos(60°)=(√3/2)/(1/2)=√3
Placer le point H, milieu du segment [BC]
figure laissée au lecteur
2) a. Justifier que : (AH) perpendiculaire à( BC)
(AH) représente une médiane
or ABC est équilatéral donc 'AH) est aussi une hauteur
donc (AH) est perpendiculaire à (BC)
b. Justifier que: cos (ABC) = 1/2
cos(ABC)=BH/AB=(a/2)/a=1/2
c. En déduire que cos : (60°) = 1/2
ABC=60° car ABC équilatéral
donc cos(60°)=1/2
3) H Justifier que sin: (30°) 1/2
sin(30°)=sin(BAH)=BH/AB=(a/2)/a=1/2
4) a. sachant que cos: (60°) 1/2 calculer la valeur exacte de sin (60°)
cos²(60°)+sin²(60°)=1
(1/2)²+sin²(60°)=1
sin²(60°)=3/4
sin(60°)=√(3/4)=√3/2
b. En déduire la valeur exacte de tan: (60°)
tan(60°)=sin(60°)/cos(60°)=(√3/2)/(1/2)=√3
1) Construire un triangle équilatéral ABC ; On note a la longueur AB en centimètre.
Placer le point H, milieu du segment [BC]
Je te laisse le soin de faire le schéma
2)
a) Justifier que : (AH) est perpendiculaire à (BC)
Dans un triangle équilatéral, sa hauteur est la médiane, mais aussi la médiatrice et la bissectrice. AH est la médiatrice, donc :
(AH) est perpendiculaire à (BC)
b) Justifier que : cos (ABC) = 2/a
Cos (ABC) = BH/AB = (1/2) AB/AB = (a/2)/a quand le triangle est de coté a
c) En déduire que Cos : (60°) = 1/2
On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Dans un triangle équilatéral les 3 angles sont égaux, ils mesurent donc chacun 60°, donc l'angle ABC = 60°
On sait que Cos(ABC) = (a/2)/a = 1/2
Comme l'angle ABC = 60° :
Cos60° = 1/2
3) H Justifier que sin: (30°) 1/2
En considérant le triangle rectangle AHB,et l'angle AHB = 180-90°- angle ABH avec angle ABH = angle ABC = 60, on sait donc que l'angle AHB = 30°
Sin30 = BH/AB or BH/AB = Cos ABC = 1/2
4)
a) Sachant que Cos (60°) 1/2, calculer la valeur exacte de Sin (60°)
[Sin(60)] 2 + [Cos(60)] 2 = 1
[Sin(60)] 2 = 1 - [Cos(60)] 2 = 1 - (1/2) 2 = 1 - (1/4) = 3/4
Sin60 = (√3) / 2
b) En déduire la valeur exacte de tan: (60°)
Tan 60 = Sin60 / Cos60 = [(√3) / 2] / (1/2) = √3
Placer le point H, milieu du segment [BC]
Je te laisse le soin de faire le schéma
2)
a) Justifier que : (AH) est perpendiculaire à (BC)
Dans un triangle équilatéral, sa hauteur est la médiane, mais aussi la médiatrice et la bissectrice. AH est la médiatrice, donc :
(AH) est perpendiculaire à (BC)
b) Justifier que : cos (ABC) = 2/a
Cos (ABC) = BH/AB = (1/2) AB/AB = (a/2)/a quand le triangle est de coté a
c) En déduire que Cos : (60°) = 1/2
On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Dans un triangle équilatéral les 3 angles sont égaux, ils mesurent donc chacun 60°, donc l'angle ABC = 60°
On sait que Cos(ABC) = (a/2)/a = 1/2
Comme l'angle ABC = 60° :
Cos60° = 1/2
3) H Justifier que sin: (30°) 1/2
En considérant le triangle rectangle AHB,et l'angle AHB = 180-90°- angle ABH avec angle ABH = angle ABC = 60, on sait donc que l'angle AHB = 30°
Sin30 = BH/AB or BH/AB = Cos ABC = 1/2
4)
a) Sachant que Cos (60°) 1/2, calculer la valeur exacte de Sin (60°)
[Sin(60)] 2 + [Cos(60)] 2 = 1
[Sin(60)] 2 = 1 - [Cos(60)] 2 = 1 - (1/2) 2 = 1 - (1/4) = 3/4
Sin60 = (√3) / 2
b) En déduire la valeur exacte de tan: (60°)
Tan 60 = Sin60 / Cos60 = [(√3) / 2] / (1/2) = √3
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