Bonsoir,
Notons par c la longueur d'un côté de l'octogone.
Soit le triangle AOB.
Il est isocèle car OA = OB= rayon du cercle
La mesure de l'angle AOB = 360°/8 = 45°.
Traçons la hauteur de ce triangle ABC issue de O.
Celle hauteur coupe [AB] en H.
Puisque le triangle AOB est isocèle en O, la hauteur [OH] est également la médiatrice de [AB] et la bissectrice de l'angle AOB.
Par conséquent AH = c/2 et l'angle AOH = 45° / 2 = 22,5°.
Dans le triangle AOH,
[tex]\sin(\widehat{AOH})=\dfrac{AH}{OA}\\\\\sin(22,5^o})=\dfrac{\dfrac{c}{2}}{5}\\\\\dfrac{c}{2}=5\times\sin(22,5^o})\\\\c=10\times\sin(22,5^o})[/tex]
Le périmètre de l'octogone mesure [tex]8\times c\\\\=8\times10\times\sin(22,5^o})\\\\=80\times\sin(22,5^o})\\\\\approx30,6\ cm[/tex]
