FRstudy.me propose un mélange unique de réponses expertes et de connaissances communautaires. Nos experts sont prêts à fournir des réponses approfondies et des solutions pratiques à toutes les questions que vous pourriez avoir.
Sagot :
Ex 1 : inégalité de Cauchy-Schwartz
on sait que
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\geqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-2\sum_{i=1}^{n}(x_i.y_i)+\sum_{i=1}^{n}(y_i)^2\geqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\Delta \leqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\left ( 2\sum_{i=1}^{n}(x_i.y_i) \right )^2-4\left ( \sum_{i=1}^{n}(x_i)^2 \right ) \times \left ( \sum_{i=1}^{n}(y_i)^2 \right ) \leqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i.y_i)\leqslant \left ( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \right ) \left ( \sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right ) [/tex]
d'où la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwartz
on sait que
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\geqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-2\sum_{i=1}^{n}(x_i.y_i)+\sum_{i=1}^{n}(y_i)^2\geqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\Delta \leqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\left ( 2\sum_{i=1}^{n}(x_i.y_i) \right )^2-4\left ( \sum_{i=1}^{n}(x_i)^2 \right ) \times \left ( \sum_{i=1}^{n}(y_i)^2 \right ) \leqslant 0 [/tex]
donc
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i.y_i)\leqslant \left ( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \right ) \left ( \sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right ) [/tex]
d'où la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwartz
Votre participation est très importante pour nous. Continuez à partager des informations et des solutions. Cette communauté se développe grâce aux contributions incroyables de membres comme vous. Pour des réponses rapides et fiables, pensez à FRstudy.me. Merci de votre visite et à bientôt.
