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Pouvez vous m’aider pour cette exercice s’il vous plaît !


On considère la suite Un défini par U0=1 et, pour tout entier naturel n,Un+1=-1/2Un+3.

1) calculer U1,U2,U3.

la suite Un est elle arithmétique? Géométrique?

2) On pose Vn = Un-2. Démontrer que la suite Vn est géométrique en raison -1/2.



3) En déduire L’expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n.



4) déterminer le sens de variation de la suite Un



5) Vers quel facteur semble tendre Un lorsque n tend ver +infini

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

U(1)=-(1/2)U(0)+3=-1/2(1)+3=5/2

U(2)=-(1/2)(5/2)+3=-5/4+3=7/4

U(3)=-(1/2)(7/4)+3=-7/8+3=17/8

U(2)-U(1)=7/4-5/2=-3/4

U(3)-U(2)=17/8-7/4=3/8

3/4 ≠ 3/8 : pas arithmétique

U(2)/U(1)=(7/4)(2/5)=7/10

U(3)/U(2)=(3/8)(4/3)=1/2

7/10 ≠ 1/2 : pas géométrique.

2)

V(n+1)=U(n+1)-2

V(n+1)=-(1/2)U(n)+3-2

V(n+1)=-(1/2)U(n)+1

V(n+1)=-(1/2)[U(n)-2] mais U(n)-2=V(n) donc :

V(n+1)=-(1/2)V(n)

qui prouve que V(n) est une suite géométrique de raison q=-1/2 et de 1er terme V(0)=U(0)-2=1-2=-1.

3)

Donc :

V(n)=V(0)*q^n soit :

V(n)=-1*(-1/2)^n=-(1/2)^n

Comme U(n)=V(n)+2 , alors :

U(n)=-(1/2)^n+2

4)

Je ne vois pas car elle "oscille" autour de + ou - 2.

5)

Quand n tend vers +inf :

lim -(1/2)^n=0 car -1 < -1/2 < 1

Donc quand n tend vers +inf :

lim -(1/2)^n+2=0+2=2

U(n) tend vers +2 quand n tend vers +inf.

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