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Bonjour,
On suppose que racine carré de 2 est un nombre rationnel, c'est à dire que l'on peut ecrire racine carré de 2 = a sur b, avec a et b nombres entiers premier entre eux.
a. démontrer que si racine carré de 2 = a sur b alors a²= 2b²
b. démontrer que le carré d'un nombre impair est aussi un nombre impair.
c. en déduire que a est un nombre pair. on pose a= 2n
d. Démontrer qu'alors b²= 2n². en déduire que b est pair.
e. utiliser le fait que a et b sont premiers entre eux, pour expliquer pourquoi cela est impossible. en conclusion, la supposition initiale est fausse. donc racine carré de 2 est un irrationnel.
Merciii d'avance pour votre grande aide!!!! 

Sagot :

Supposons que √2 soit un nombre rationnel écrit sous la forme la plus simple possible.
√2=a/b avec b ≠0 et a et b qui ne peuvent pas être pairs tous les deux, sinon on pourrait simplifier par 2.

√2=a/b donc (√2)²=a²/b²

donc 2=a²/b²
donc b²=2a² 

a est soit pair, soit impair.
Supposons a impair.
Alors a² est impair .
Donc a² ne peut pas être égal à 2b². C'est impossible.

Supposons a pair.
Alors a=2n
donc a²=(2n)²
donc a²=4n²
donc 4n²=2b²
donc 2n²=b²
(2n+1)²=4n²+4n+1
donc (2n+1)²=4(n²+n)+1 est impair

Le carré de b est pair, donc b est pair. mais on a dit dès le début que a et b ne peuvent pas être pairs tous les deux.

Donc a n'est pas pair. a n'est ni pair ni impair :
il n'existe pas. √2 ne peut pas s'écrire sous la forme du quotient de deux nombres entiers, donc √2 n'est pas un nombre rationnel. √2 est un nombre irrationnel

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