Réponse:
51
Un+1 / Un = (n+4)/(2n+1)
n+4-2n-1 = -n+3
-n+3 ≤ 0 <=>
-n ≤ -3 <=>
n ≥ 3
Pour n ≥ 3
(n+4)-(2n+1) ≤ 0
n+4 ≤ 2n+1
(n+4)/(2n+1) ≤ 1
Un+1 / Un ≤ 1
La suite (Un) est décroissante pour n ≥ 3
52
1) f(x) = x + 1/(x+1) sur [0;+∞[
f'(x) = 1 - 1/(x+1)²
f'(x) = [(x+1)²-1]/(x+1)²
f'(x) = [(x+1)(x-1)]/(x+1)²
f'(x) = (x-1)/(x+1)
f'(x) ≥ 0 pour x ≥ 1
f(x) est croissant sur [1;+∞[
Un = f(n) donc Un est croissante pour tout n.
2)
Vn+1 / Vn = 4²ⁿ⁺² / 4²ⁿ = 4²
Vn+1 / Vn ≥ 1 donc la suite est croissante pour tout n.
3)
Wn+1 - Wn = (3-0,5ⁿ⁺¹)-(3-0,5ⁿ) = 0,5ⁿ⁺¹-0,5ⁿ = 0,5ⁿ(0,5-1) = -0,5×0,5ⁿ
Wn+1 - Wn < 0 donc la suite est decroissante pour tout n.
4)
tn+1- tn = (n+1)/3ⁿ⁺¹ - n/3ⁿ
tn+1 - tn = (n+1 - 3n)/3ⁿ⁺¹
tn+1 - tn = (1-2n)/3ⁿ⁺¹
3ⁿ⁺¹ > 0 et 1-2n ≤ 0 pour n ≥ 1
tn+1 - tn ≤ 0 pour n ≥1
La suite est decroissante pour n≥1
5)
f(x) = 5/x³ - 4 = 5x⁻³ - 4 pour x > 0
f'(x) = -15x⁻²
f'(x) ≤ 0 pour tout x > 0
kn = f(n) donc la suite est decroissante pour n≥ 1
6)
Ln+1 - Ln = - 1/(n²+1)
Ln+1 - Ln < 0 pour tout n
La suite Ln est décroissante pour tout n.
