Bonsoir,
1) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
La droite (EB) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
D'où la droite (EB) est perpendiculaire à la droite (AB).
Par conséquent l'angle EBA = 90°
2) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
La droite (FA) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
D'où la droite (FA) est perpendiculaire à la droite (AB).
Par conséquent l'angle FAB = 90°
3) Le quadrilatère FABE possède 4 angles droits (EFA, FAB, ABE et BEF).
C'est donc un rectangle.
4) FABE est un rectangle ===> ses côtés opposés ont la même longueur, et en particulier les côtés [AF] et [BE].
Par conséquent, AF = BE.
5) Les droites (AC) et (BD) sont parallèles et sont coupées par la droite (FD) respectivement en C et en D.
D'où les angles BDE et ACF sont des angles correspondants.
Or des angles correspondants ont la même mesure.
Par conséquent : [tex]\widehat{BDE}=\widehat{ACF}[/tex]
6) La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°
Dans le triangle FAC,
[tex]\widehat{AFC}+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\90^o+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\\widehat{FAC}=180^o-90^o-\widehat{ACF}\\\\\boxed{\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}}[/tex]
Dans le triangle DEB,
[tex]\widehat{DEB}+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\90^o+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\\widehat{EBD}=180^o-90^o-\widehat{BDE}\\\\\boxed{\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}}[/tex]
Or nous avons montré dans la question 5 que [tex]\widehat{BDE}=\widehat{ACF}[/tex].
Donc [tex]\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}[/tex] et [tex]\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}=90^o-\widehat{ACF}[/tex]
Par conséquent, [tex]\widehat{FAC}=\widehat{EBD}[/tex]
7) Les triangles CFA et DEB sont isométriques (égaux) car ils ont un côté égal compris entre deux angles égaux.
En effet : AC = BD (car ABCD est un parallélogramme)
Angle FEC = angle EBD (voir point 6)
Angle ACF = angle BDE (voir point 5).
Puisque ces triangles CFA et DEB sont isométriques, nous en déduisons que FC = ED.
8) Aire (FCA) = (1/2) x Base x hauteur
= (1/2) x FC x FA
9) Aire (EBD) = (1/2) x Base x hauteur
= (1/2) x ED x EB
10) On sait que FC = ED (voir point 7)
FA = EB (voir point 4)
Par conséquent, Aire (FCA) = Aire (EBD)
11) Aire (AFEB) = Longueur x largeur
= AB x AF
12) Aire (AFEB) = Aire (FAC) + Aire (ABEC)
13) Aire (ABCD) = Aire (EBD) + Aire (ABEC)
14) Aire (FAC) = Aire (EBD) (voir point 10)
D'où Aire (AFEB) = Aire (ABCD)
15) Puisque Aire (AFEB) = AB x AF (voir point 11), nous en déduisons que Aire (ABCD) = AB x AF.
