Bonjour,
1) Le triangle ABC est rectangle en A.
Il peut donc être inscrit dans un cercle dont [BC] est le diamètre.
Comme E est le milieu de [BC], E est le centre de ce cercle.
BC = 8 cm ==> EC = EB = 4 cm = le rayon du cercle.
Comme [AE] est également un rayon du cercle, nous en déduisons que AE = 4 cm.
2) Dans le triangle ABC,
[tex]\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}\\\\\cos(40^o)=\dfrac{AB}{8}\\\\AB=8\times\cos(40^o)\\\\AB\approx 6,1[/tex]
AB = 6,1 cm arrondi au mm près.
3) Dans le triangle ABC,
[tex]\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}\\\\\sin(40^o)=\dfrac{AC}{8}\\\\AC=8\times\sin(40^o)\\\\AC\approx 5,1[/tex]
AC = 5,1 cm arrondi au mm près.
4) La droite (AC) est parallèle à (FC).
La droite (AC) passe par le milieu E de [BC]
Par la réciproque du théorème de Thalès (théorème des milieux), la droite 5AC) passe par le milieu de [FB].
Donc A est le milieu de [FB]
Or le triangle ABC est rectangle en A ===> (CA) est perpendiculaire à (FC).
La droite (CA) est donc la médiatrice de [FB] car elle est perpendiculaire à [FB] en son milieu.
5) Aire du triangle BCF = (1/2) * FB * AC
FB = 2*AB
= 2*6,1
= 12,2
AC = 5,1
Aire du triangle BCF = (1/2) * 12,2 * 5,1
= 31,11
L'aire du triangle BCF est égale à 31,11 cm².
