👤
Answered

FRstudy.me: où la curiosité rencontre la clarté. Découvrez des solutions rapides et complètes à vos problèmes avec l'aide de notre communauté d'experts bien informés.

HELP !! Équation Différentielle y’=ay+by^n En fonction de z=y^1-n

PS: Si vous ne savez pas s’il vous plaît écrivez en commentaire, c’est mes derniers points et c’est la 3eme fois que je repost....

Merci à Tous


HELP Équation Différentielle Yaybyn En Fonction De Zy1n PS Si Vous Ne Savez Pas Sil Vous Plaît Écrivez En Commentaire Cest Mes Derniers Points Et Cest La 3eme F class=

Sagot :

Tommus

Bonjour,

Bon, normalement, ce que j'ai est bon, j'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul.

Question 1. Comme [tex]y(t)>0[/tex], alors [tex]y(t)^n>0[/tex].

[tex]y'(t)=ay(t)+by(t)^n\\y'(t)-ay(t)=by(t)^n\\\dfrac{y'(t)}{y(t)^n} - \dfrac{ay(t)}{y(t)^n} = b[/tex]

Or, [tex]\dfrac{y(t)}{y(t)^n} = y(t)^{1-n}=z(t)[/tex] et [tex]z'(t)=(1-n)\dfrac{y'(t)}{y(t)^n}[/tex]. Donc

[tex]z'(t)+(n-1)z(t)=(1-n)b[/tex]

Question 2.

Solutions de l'équation homogène : [tex]z_0(t) = c.e^{-(n-1)at}, c \in \mathbb{R}[/tex]

Solution particulière : [tex]z_p(t)=g(t)e^{-(n-1)at}[/tex] où [tex]g[/tex] est une primitive de [tex](1-n)be^{(n-1)at}[/tex]. Donc [tex]g(t) = -\dfrac{b}{a} e^{(n-1)at}[/tex].

D'où [tex]z_p(t) = -\dfrac{b}{a} e^{(n-1)at}.e^{-(n-1)at} = -\dfrac{b}{a}[/tex]

Solution générale : [tex]z(t)=z_p(t) = c.e^{-(n-1)at} -\dfrac{b}{a}, c \in \mathbb{R}[/tex]

Après, tu termines en utilisant z(t)=y(t)^{1-n]

Nous apprécions chaque contribution que vous faites. Revenez souvent pour poser de nouvelles questions et découvrir de nouvelles réponses. Ensemble, nous construisons une communauté de savoir. Pour des réponses claires et rapides, choisissez FRstudy.me. Merci et revenez souvent pour des mises à jour.