a)
1) [tex]C_{n+1}=C_{n}*1,005-200 [/tex] (Cn augmenté de 5% puis diminué de M)
Co=10.000
2) [tex]D_{n}=C_{n}-40.000 [/tex]
Do=Co-40.000=10.000-40.000=-30.000
[tex] \frac{D_{n+1}}{D_{n}}=\frac{C_{n+1}-40.000}{C_{n}-40.000 } [/tex]
[tex] \frac{D_{n+1}}{D_{n}}=\frac{1,005C_{n}-200-40.000}{C_{n}-40.000}= \frac{1,005C_{n}-40.200}{C_{n}-40.000} [/tex]
[tex] \frac{D_{n+1} }{D_{n}}= \frac{1,005(C_{n}-40.000)}{C_{n}-40.000}=1,005 [/tex]
Donc Dn est une suite géométrique de raison 1,005
3) Dn=Do*1,005^n
Donc Cn=40.000-30.000*1,005^n
C60=-465,50
Donc la mensualité de 200 est un peu trop élevée.
b)
1) [tex]C_{n+1}=C_{n}*1,005-M [/tex]
2) [tex]D_{n}=C_{n}-200M [/tex]
Do=Co-200M=10.000-200M
[tex] \frac{D_{n+1}}{D_{n}}=\frac{C_{n+1}-200M}{C_{n}-200M } [/tex]
[tex] \frac{D_{n+1}}{D_{n}}=\frac{1,005C_{n}-M-200M}{C_{n}-200M}= \frac{1,005C_{n}-201M}{C_{n}-200M} [/tex]
[tex] \frac{D_{n+1} }{D_{n}}= \frac{1,005(C_{n}-200M)}{C_{n}-200M}=1,005 [/tex]
Donc Dn est une suite géométrique de raison 1,005
3) Dn=(10.000-200M)*1,005^n
Donc Cn=Dn+200M=200M+(10.000-200M)*1,005^n
4) Le remboursement est effectué en 60mensualités si C60=0
Soit 200M+(10.000-200M)*1,005^60=0
200M(1,005^60-1)=10.000*1,005^60
Soit M=[tex] \frac{10.000*1,005^{60} }{200(1,005^{60}-1)} [/tex]
M=193,33
