3) Théorème du cours : Si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle
circonscrit, alors ce triangle est rectangle (le diamètre du
cercle circonscrit est alors son hypoténuse).
C est le cercle circonscrit à ABN et AB est son diamètre donc ANB est rectangle en N
C' est le cercle circonscrit à AON et AO est son diamètre donc AOM est rectangle en OM
4) A, M et N sont alignés. A, O et B sont alignés.
AOM est rectangle en M donc (AB) et (OM) sont perpendiculaires
ANB est rectangle en N donc (AB) et (NB) sont perpendiculaires
(OM) et (NB) sont perpendiculaires à la même droite donc (OM) // (NB)
5) OM // NB donc on applique le théorème de Thalès :
AM/AN=AO/AB
O est le milieu de AB (car O est le centre de C) donc AB=2*AO et AO/AB=1/2
Donc AM/AN=1/2 donc AM=AN/2 donc M est le milieu de AN
6) On applique le théorème de Thalès :
MO/BN=AO/AB=1/2 donc MO=BN/2=1,5
7) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle AMO :
AO²=MO²+AM² donc AM²=AO²-MO²=5²-1,5²=25-2,25=22,75
[tex]AM= \sqrt{22,75} [/tex]
AM≈4,8 cm
8) CosABN=BN/AB=3/10=0,3
Donc ABN=72,5°
9) Le rayon de la base du cône est MO et sa hauteur est AM
Vcone=1/3*Aire de la base*Hauteur=1/3*π*OM²*AM
Vcone=1/3*π*1,5²*4,8≈11,31 soit 11 cm³ arrondi au cm³
