Bonjour,
Nous pouvons montrer que
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\geqq1-\dfrac{1}{2}x^2 \ \ \text{pour } x\geq 0[/tex]
Par exemple, en étudiant cette fonction et en déduire son signe sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}-1+\dfrac{1}{2}x^2[/tex]
...ou faire un développement limité à l'ordre 2 au voisinnage de 0 de [tex]\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
et minorer le reste.
Ce qui donne,
[tex]\int_{a}^{b} \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}dx\geq\int_{a}^{b} f'(x)dx-\dfrac{1}{2}\int_{a}^{b} f^2(x)f'(x)dx\\\\<=>\int_{a}^{b} \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}dx\geq(f(b)-f(a))-\dfrac{1}{6}(f^3(b)-f^3(a))\\\\<=> 6\int_{a}^{b} \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}dx+f^3(b)-f^3(a)\geq6(f(b)-f(a))[/tex]
Suite au contre-exemple proposé par François, je ne pense pas que ce soit possible de minorer par 6(b-a).
