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BlackBeard
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║Challenge - Maths - Lycée║

Bonjour, Voici un petit exercice qui pourrait être résolu par un lycéen de première/terminale si il réfléchit un peu ФωФ

Trouver x tel que :

[tex]7^{x} +24^{x} =25^{x}[/tex]

Bonne chance à tous des indications au niveau de la méthode pourront être données dans l'espace commentaire #ApprendsAvecNosdevoirs

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ bonsoir à Tous !

■ (7;24;25) est un triplet Pythagoricien,

certes nettement moins connu que (3;4;5) ! ☺

■ donc x = 2 est la solution évidente !

Mais y aurait-il d' autres solutions ? ☺

■ divisons par 25 puissance(x) :

   0,28 puiss(x) + 0,96 puiss(x) = 1

   comme 0,28 et 0,96 sont inférieurs à 1 ,

   0,28 puiss(x) et l' autre sont TOUJOURS décroissantes !

■ 0,28° + 0,96° = 1 + 1 = 2 > 1

  il n' y a qu' un point d' intersection entre

  la courbe d' équation y = 0,28^x + 0,96^x

     et la droite horizontale d' équation y = 1

   

Skabetix

Bonjour,

[tex]7 {}^{x} + 24 {}^{x} = 25 {}^{x} [/tex]

[tex]⇔( \frac{7}{25} ) {}^{x} + ( \frac{24}{25}) {}^{x} = 1[/tex]

On note : 7/25 = sin(Θ)

On se rappelle que :

[tex]\boxed{cos {}^{2} (Θ) + {sin}^{2} (Θ) = 1}[/tex]

Déterminons la valeur de cos(θ)

[tex]cos(Θ) = \sqrt{1 - sin {}^{2}(Θ) } = \sqrt{1 - ( \frac{7}{25}) {}^{2} } [/tex]

[tex] = \sqrt{1 - \frac{49}{625} } = \sqrt{ \frac{625 - 49}{625} } = \frac{24}{25} [/tex]

On a ainsi :

[tex]( \frac{7}{25} ) {}^{x} + ( \frac{24}{25} ) {}^{x} = 1⇔cos {}^{x}( θ) + sin {}^{x}( θ)= 1[/tex]

Or on se souvient que :

[tex]\boxed{cos {}^{2} (Θ) + {sin}^{2} (Θ) = 1}[/tex]

Ainsi par identification on en déduit que x = 2

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