Bonjour,
Comme d'habitude, on commence par calculer le polynôme caractéristique de A :
[tex]\chi_A=\det(XI_3-A)=\left(\begin{array}{ccc}X-9&-1&2\\0&X-2&0\\0&-1&X-2 \end{array} \right)=(X-9)\left(\begin{array}{ccc}1&-1&2\\0&X-2&0\\0&-1&X-2 \end{array} \right)[/tex]
puis on développe par rapport à la première colonne :
[tex]\chi_A=(X-9)\times(-1)^{1+1}\times1\times \left|\begin{array}{cc} X-2&0\\-1&X-2 \end{array}\right|=\boxed{(X-9)(X-2)^2=\chi_A}[/tex].
On a deux valeurs propres : 9 et 2. On sait que [tex]E_9[/tex] est de dimension 1, et que [tex]E_2[/tex] est de dimension 1 ou 2 (s'il est de dimension 2, A est diagonalisable, et sinon, elle est seulement trigonalisable).
On cherche donc la dimension de [tex]E_2[/tex] en résolvant [tex]AX=2X[/tex] d'inconnue [tex]X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array} \right)[/tex].
[tex]AX=2X\iff \left\{\begin{array}{c} 9x+y-2z=2x\\2y=2y\\y+2z=2z\end{array} \right. \iff \left\{\begin{array}{c} 7x=2\lambda\\y=0\\z=\lambda \in \mathbb{R}\end{array} \right.[/tex]
Donc [tex]E_2[/tex] est de dimension 1, et A n'est pas diagonalisable.
Elle est cependant trigonalisable, semblable à[tex]\left( \begin{array}{ccc} 9&*&*\\0&2&*\\0&0&2\end{array} \right)[/tex]. Mais en fait, on a mieux, puisque on sait qu'elle est même semblable à [tex]\left( \begin{array}{ccc} 9&0&0\\0&2&*\\0&0&2\end{array} \right)[/tex] (c'est une conséquence du lemme des noyaux; je pourrai te l'expliquer en commentaires si tu veux)
On cherche donc les vecteurs de base. Pour les deux premiers, c'est facile, ce sont des vecteurs propres de [tex]E_9[/tex] et [tex]E_2[/tex] respectivement.
Pour obtenir un vecteur propre de [tex]E_9[/tex], on résout :
[tex]AX=9X \iff \left \{ \begin{array}{l} 9x+y-2z=9x\\2y=9y\\y+2z=9z\end{array} \right. \iff \left \{ \begin{array}{l} x=\mu \in \mathbb{R}\\y=0\\z=0\end{array} \right.[/tex].
On choisit donc [tex]e_1=(1,0,0)[/tex].
On a déjà trouvé un vecteur propre de [tex]E_2[/tex] (on a résolu le système associé pour en trouver la dimension) : on prend [tex]e_2=(2,0,7)[/tex] (on pourrait prendre [tex]e_2=(\frac{2}{7}\lambda,0,\lambda)[/tex] pour tout réel [tex]\lambda[/tex]).
Pour le dernier, il faut résoudre [tex]Ae_3=2e_3+\mu e_2[/tex], avec [tex]\mu[/tex] fixé. On essaie ici [tex]\mu=1[/tex].
On résout donc :
[tex]\left \{ \begin{array}{l} 9x+y-2z=2x+2\\2y=2y\\y+2z=2z+7\end{array} \right.\iff \left \{ \begin{array}{l} 7x=2z-5\\y=7\end{array} \right. \iff \left \{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{7}(2\lambda-5)\\y=7\\z=\lambda \in \mathbb{R}\end{array} \right.[/tex].
Je choisis [tex]\lambda=6[/tex] (pour enlever les fractions), et on a donc [tex]e_3=(1,7,6)[/tex].
Finalement :
[tex]\boxed{A=P\left(\begin{array}{ccc} 9&0&0\\0&2&1\\0&0&2 \end{array} \right)P^{-1}}[/tex] , avec [tex]\boxed{P=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&1\\0&0&7\\0&7&6 \end{array} \right)}[/tex].