Bonsoir,
Exercice 97.
1) Voici le tableau complété :
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&\dfrac{1}{2}&&3&&+\infty\\ Signe\ de\ 2x-1&&-&0&+&+&+&\\ Signe\ de\ -x+3 &&+&+&+&0&-&\\ Signe\ de\ (2x-1)(-x+3)&&-&0&+&0&-&\\\end{array}[/tex]
2) Résoudre l'inéquation (2x - 1)(-x + 3) ≥ 0.
D'après le tableau de signes précédent,
(2x - 1)(-x + 3) ≥ 0 <==> x ∈ [1/2 ; 3]
Par conséquent S = [1/2 ; 3]
3) Donner une méthode pour résoudre l'inéquation (2x + 1)(-x + 1) ≥ (1 - x).
(2x + 1)(-x + 1) ≥ (1 - x)
(2x + 1)(-x + 1) - (1 - x) ≥ 0
(2x + 1)(-x + 1) - (-x + 1) ≥ 0
(-x + 1) [(2x + 1) - 1] ≥ 0
(-x + 1) (2x + 1 - 1) ≥ 0
(-x + 1) (2x) ≥ 0
2x(-x + 1) ≥ 0
La méthode : Etudier le signe de 2x
Etudier le signe de -x + 1
En déduire le signe de 2x(-x + 1)
Grâce au tableau, déterminer les valeurs de x telle que 2x(-x + 1) ≥ 0.
L'ensemble de ces valeurs est l'ensemble des solutions de l'inéquation.
Exercice 98.
Trouver une inéquation résolue par le tableau suivant et dont l'ensemble des solutions est ]-2/3 ; 4/3[.
Voici le tableau complété :
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-\dfrac{2}{3}&&\dfrac{4}{3}&&+\infty\\ Signe\ de\ 3x-4&&-&|&-&0&+&\\ Signe\ de\ 3x+2&&-&0&+&|&+&\\ Signe\ de\ (3x-4)(3x+2)&&+&0&-&0&+&\\\end{array}[/tex]
]-2/3 ; 4/3[ est l'ensemble des solutions de l'inéquation (3x - 4)(3x + 2) < 0.
Exercice 99.
Roxane commet une erreur car le signe ≥ de l'inéquation n'est conservé que lorsque x+1 est strictement positif.
En effet, le sens d'une inéquation ne chanque pas lorsqu'on multiplie les deux membres par un même nombre strictement positif.
Or x+1 peut également être négatif (lorsque x est inférieur à -1).
Donc la méthode de Roxane est incorrecte.
La méthode correcte est celle-ci :
[tex]\dfrac{2x-1}{x+1}\ge1\\\\\dfrac{2x-1}{x+1}-1\ge0\\\\\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1}\ge0\\\\\dfrac{(2x-1)-(x+1)}{x+1}\ge0\\\\\dfrac{2x-1-x-1}{x+1}\ge0\\\\\dfrac{x-2}{x+1}\ge0[/tex]
Il faut ensuite faire le tableau de signes du quotient et en déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation.
