Bonsoir,
1) Le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 1 est f '(1).
[tex]f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x\\\\f'(x)=(-\dfrac{1}{3}x^3+x)'\\\\f'(x)=(-\dfrac{1}{3}x^3)'+x'\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{3}(x^3)'+x'\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{3}\times3x^2+1\\\\f'(x)=-x^2+1[/tex]
D'où f '(1) = -1² + 1
= -1 + 1
= 0
Le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 1 vaut 0.
2) L'ordonnée du point de C d'abscisse 1 est f(1).
[tex]f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x\Longrightarrow f(1)=-\dfrac{1}{3}\times1^3+1\\\\\Longrightarrow f(1)=-\dfrac{1}{3}+1\\\\\Longrightarrow f(1)=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{3}\\\\\Longrightarrow f(1)=\dfrac{2}{3}[/tex]
L'ordonnée du point de C d'abscisse 1 vaut 2/3.
Conclusion.
Le point de C d'abscisse 1 admet comme coordonnées (1 ; 2/3).
Le coefficient directeur de la tangente à C en ce point vaut 0.
Par conséquent, la tangente à la courbe C au point (1 ; 2/3) est horizontale.
Graphique en pièce jointe.
