Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1.
pour tout entier n supérieur à 1
L'aire du carré de côté 2n+1 est
[tex](2n+1)^2[/tex]
L'aire du carré de côté 2n-1 est
[tex](2n-1)^2[/tex]
Donc,
[tex]a_n=(2n+1)^2-(2n-1)^2=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1=8n[/tex]
Il est évident de montrer que
[tex]a_{n+1}-a_n=8(n+1)-8n=8\\\\a_1=3^2-1^2=8[/tex]
Donc, la suite est une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme 8.
2.
Nous savons calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
[tex]\displaystyle a_1+a_2+...+a_n=\sum_{k=1}^{n} \ (a_k)\\\\=\sum_{k=1}^{n} \ (8k)\\\\=8\times\sum_{k=1}^{n} \ (k)\\\\=8\times \dfrac{n(n+1)}{2}\\\\\boxed{=4n(n+1)}[/tex]
3.
Si on rajoute 1 qui est l 'aire du petit carré de côté 1, on devrait trouver l'aire du grand carré de côte (2n+1), donc, d'un point de vue géométrique je peux écrire que
[tex]a_n=(2n+1)^2-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=2n(2n+2)=4n(n+1)[/tex]
Et c'est la même formule !
Merci
