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Aziz, Bill et Clara disposent chacun d'une urne comprenant trois boules numérotées 

Aziz lui contient ( 1, 6 et 8) 
Bill contient (5, 7, et 3) 
Et Clara contient (2, 4, et 9) 

Les joueurs se rencontrent deux par deux : chacun tire au hasard une boule de son urne. Le gagnant est celui qui a obtenu le numéro le plus grand. 

1. Aziz contre Bill. 
On a croisé dans un tableau les issues possibles du tirage d’Aziz et du tirage de Bill. 
On a obtenu 9 couples équiprobables, auxquels on a associé un gagnant. 
Quelle est la probabilité qu’Aziz l'emporte que Bill ? 

le tableau : 

Bill : 3 5 7 
Aziz 
1 ( 1 ; 3 ) ( 1 ; 5 ) ( 1 ; 7 ) 
(B) (B) (B) 

6 ( 6 ; 3 ) ( 6 ; 5 ) ( 6 ; 7 ) 
(A) (A) (B) 

8 ( 8 ; 3 ) ( 8 ; 5 ) ( 8 ; 7 ) 
(A) (A) (A) 



2. Bill contre Clara. 
L'étude des chances de gain de Bill et de Clara lorsqu'ils se rencontrent, est donnée par ce second tableau. 
Quelle est la probabilité que Bill l'emporte sur Clara ? 

Le tableau : 

Clara : 2 4 9 
Bill 
3 ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 4 ) ( 3 ; 9 ) 
(B) (C) (C) 

5 ( 5 ; 2 ) ( 5 ; 4 ) ( 5 ; 9 ) 
(B) (B) (C) 

7 ( 7 ; 2 ) ( 7 ; 4 ) ( 7 ; 9 ) 
(B) (B) (C) 

3. Aziz contre Clara 
a. Conjecture 
A partir des résultats précédents que pensez vous - a priori – des chances de gagner respectives de Aziz et de Clara lors d’une rencontre ? 
Que pouvez-vous attendre de la probabilité qu’Aziz l’emporte sur Clara ? 
b. Vers une preuve ? 
Construire le tableau, semblable aux précédents, illustrant une rencontre entre Aziz et Clara. 
Qu’obtenez-vous comme probabilité de victoire d’Aziz sur Clara ? En quoi, la situation révèle t elle ici un paradoxe ? Avez – vous une explication ?

Sagot :

Safinatoybou
Bonsoir, 
  
Tu as 9 possibilités, 4 où Bill gagne et 5 où Aziz gagne (il suffit de compter dans ton tableau).
La probabilité qu'Aziz gagne est donc de 5/9 
Tu as 9 possibilités, 5 où Bill gagne et 4 où Clara gagne (il suffit de compter dans ton tableau).
La probabilité que Bill gagne est donc de 5/9.

= = = = = = = = = = = = = = = = = =
A priori, on pourrait supposer qu'Aziz a plus de chance de gagner que Clara.
On n'a plus qu'à faire le tableau des possibilités.

Clara : 2 4 9
Aziz
1 ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 4 ) ( 1 ; 9 )
(C) (C) (C)

6 ( 6 ; 2 ) ( 6 ; 4 ) ( 6 ; 9 )
(A) (A) (C)

8 ( 8 ; 2 ) ( 8 ; 4 ) ( 8 ; 9 )
(A) (A) (C)

Tu as 9 possibilités, 4 où Aziz gagne et 5 où Clara gagne (il suffit de compter dans ton tableau).
La probabilité qu'Aziz gagne est donc de 4/9.

On s'aperçoit donc qu'Aziz à moins de chances de gagner que Clara! C'est contraire à ce qu'on avait conjecturé, c'est donc paradoxal.

L'explication est qu'Aziz possède le plus petit des nombres en jeu (le 1) et que Clara possède le plus fort du jeu (le 9). La conjonction des deux faits explique les meilleures probabilités de gains de Clara. 

Apparté:
"Par contre je voulais juste savoir si les coordonnées du vecteur OH sont (0 ; 0) ?"
Si le vecteur OH→ = 0→ (vecteur nul), ça voudrait dire que O=H.
Or rien ne le prouve dans l'énoncé.
(Dans les faits O=H uniquement si ABC est équilatéral.)

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