Bonsoir,
1) [tex]a,b,c\in]0;1[\Longrightarrow ab<1\ ;\ bc<1\ ;\ ca<1\\\\\Longrightarrow ab-1<01\ ;\ bc-1<0\ ;\ ca-1<0\\\\\Longrightarrow (ca-1)(bc-1)(ab-1)<0[/tex]
(produit de trois nombres négatifs)
2) Développons :
[tex](ca-1)(bc-1)(ab-1)<0\\\\(abc^2-ac-bc+1)(ab-1)<0\\\\a^2b^2c^2-abc^2-a^2bc+ac-ab^2c+bc+ab-1<0\\\\a^2b^2c^2+ac+bc+ab<abc^2+a^2bc+ab^2c+1[/tex]
Divisons les deux membres par abc qui est positif puisque a, b et c sont positifs)
[tex]\dfrac{a^2b^2c^2+ac+bc+ab}{abc}<\dfrac{abc^2+a^2bc+ab^2c+1}{abc}\\\\\dfrac{a^2b^2c^2}{abc}+\dfrac{ac}{abc}+\dfrac{bc}{abc}+\dfrac{ab}{abc}<\dfrac{abc^2}{abc}+\dfrac{a^2bc}{abc}+\dfrac{ab^2c}{abc}+\dfrac{1}{abc}\\\\abc+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<c+a+b+\dfrac{1}{abc}[/tex]
soit
[tex]a+b+c+\dfrac{1}{abc} > \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+abc[/tex]
