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Bonjour,

Je suis en Terminale et je fais l'option maths expertes.
J'ai un devoir à rendre pour demain où une question me pose problème, dans le chapitre des nombres complexes :

Soit z= (5+3i√3)/(1-2i√3) et z^2= -2(1+i√3).

Démontrez que pour tout n, z^(3n+2) = -2^(3n+1) * (1+i√3)

J'ai essayé de développer chaque expression et de faire une récurrence, les deux n'ont abouti à rien du tout donc je n'ai pas avancé.

Merci d'avance de votre aide, bonne fin de journée.

Sagot :

Ecto220

Réponse :

Bonjour

Il doit y avoir plusieurs méthodes, mais je pense que le plus simple est de commencer par calculer z³

On a z³ = z × z² = 8 (je te laisse vérifier ce calcul)

donc (z³)ⁿ = 8ⁿ

⇔ (z³)ⁿ × z² = 8ⁿ × (-2) × (1 +i√3)

⇔ z³ⁿ × z² = (2³)ⁿ × (-2) × (1 + i√3)

⇔ z³ⁿ⁺² = -2³ⁿ⁺¹ × (1 + i√3)

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