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1.
[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] dirige (AB)
[tex]\overrightarrow{AB}(5+2 ; 2+3)\\\overrightarrow{AB}(7; 5)\\[/tex]
Une équation cartésienne de droite est de la forme ax + by + c = 0
avec pour vecteur directeur [tex]\vec{u}(-b;a)[/tex]
Ainsi
5x-7y+c=0
et B(5;2) vérifie l'equation cartesienne de (AB)
5×5-7×2+c=0
25-14+c = 0
c = -11
Une équation cartésienne de(AB) est :
5x - 7y - 11 = 0
2.
[tex]\overrightarrow{CD}(6-3; -5+1)\\\overrightarrow{CD}(3;-4)\\[/tex]
[tex]\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=3\times 7+(-4)\times 5\\\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=21-20\\\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=1[/tex]
Le produit scalaire [tex]\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}[/tex] n'est pas nul , donc [tex]\overrightarrow{CD}[/tex] n'est pas normal à (AB).
Déterminons l'équation cartésienne de la perpendiculaire à (AB) passant par E.
Soit M(x; y) un point de cette perpendiculaire alors
[tex]\overrightarrow{EM}.\overrightarrow{AB}=0[/tex]
[tex](x-10)\times7+(y+1)\times 5=0\\7x-70+5y+5=0\\7x+5y-65=0[/tex]
Une équation cartésienne de la perpendiculaire à (AB) passant par E est :
7x+5y-65=0
Le projeté orthogonal de E sur (AB) est le point d'intersection entre (EM) et (AB)
[tex]\left \{ {{5x-7y-11=0} \atop 7x+5y-65=0}} \right. \\\\\left \{ {{25x-35y-55=0} \atop 49x+35y-455=0}} \right. \\\\\\\left \{ {{5x-7y-11=0} \atop 74x-510=0}} \right. \\\\\\\left \{ {{5x-7y-11=0} \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\\left \{ {{5\times \frac{255}{37} -7y-11=0} \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\\left \{ {{\frac{268}{37} -7y=0} \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\\left \{ {{y=\frac{124}{37} } \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\[/tex]
Les coordonnées du projeté orthogonal de E sur (AB) sont [tex](\frac{255}{37};\frac{124}{37} )[/tex]
4. On cherche une droite parallèle à (EM) passant par G(12;7)
Elle a le même vecteur directeur et les coordonnées de G vérifient l'équation de la droite.
7x+5y+c=0
7×12+5×7+c=0
119+c=0
c=-119
7x+5y-119=0 est une équation cartésienne de la perpendiculaire à (AB) passant par G.
Si y = 0 alors 7x-119=0
7x=119
x=17
Vérifions si F(17;0) appartient à (AB)
5×17-7×0-11=74
Les coordonnées de F ne vérifient par l'équation cartésienne de (AB).
Le point F(17;0) n'appartient pas à (AB) est son projeté orthogonal sur (AB) est le point G(12;7)
