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Gaelleharou
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Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d'un petit parallélépipède rectangle donc le volume est 576mm^3. On note y la hauteur; ses autres dimensions sont x et 2x (x et y sont en mm).
1) Calculez y en fonction de x
2) Calculez la surface totale S(x), en mm², de ce parallélépipède rectangle en fonction de x.
3) x est nécessairement compris entre 3 et 12 mm. Etudiez le sens de variation de S sur l'intervalle [3;12] et déduisez-en la valeur de x pour laquelle S(x) est minimale.
Merci de votre aide, sachant que je travaille sur le chapitre variations des fonctions.

Sagot :

1) Le volume du parallélépipède rectangle est 576 mm^3.
On a donc (avec x et y en mm) : x*2x*y=576 équivalent à y=576/2x²=288/x².

2) La surface totale de ce parallélépipède rectangle est la somme des surfaces des 6 côtés.
La base du parallélépipède a pour surface 2x*x=2x².
On retrouve 2 côtés comme celui-ci dans le parallélépipède.
2 des 4 autres côtés sont identiques et ont pour surface x*y.
Enfin les 2 derniers côtés sont identiques et ont pour surface 2x*y.
(le mieux c'est de faire un petit pavé pour bien se rendre compte des côtés de même surface)
On a donc : S(x)=2*2x²+2*x*y+2*2x*y=4x²+6xy.
Or y =288/x², donc S(x)=4x²+1728/x.

3) La fonction S est dérivable sur [3;12] et on a S'(x)=8x-1728/x²=(1/x²)(8x^3-1728 )
1/x² > 0 pour tout x de [3;12].
8x^3-1728 > 0 équivalent à 8x^3 > 1728 équivalent à x^3 > 216 équivalent à x > 6
et inversement, 8x^3-1728 < 0 équivalent à x < 6.
La fonction S est donc décroissante sur [3;6] et croissante sur [6;12].
On a donc S(x) minimale pour x=6.
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