Bonsoir,
1) Résoudre graphiquement l'inéquation 2/x ≤ x+1 revient à déterminer les valeurs de x sur l'axe des abscisses pour lesquelles le graphique représentant la fonction f est situé en-dessous du graphique représentant la fonction g.
L'ensemble des ces valeurs de x et par conséquent l'ensemble des solutions de l'inéquation est [-2 ; 0[ U [1 ; +infini[.
2) [tex]\dfrac{(x-1)(x+2)}{x}\ge0[/tex]
racines du numérateur : x - 1 = 0 ==> x = 1
x + 2 = 0 ==> x = -2
racine du dénominateur : x = 0.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-2&&0&&1&&+\infty\\ x-1&&-&-&-&-&-&0&+&\\ x+2&&-&0&+&+&+&+&+&\\ x&&-&-&-&0&+&+&+&\\Quotient&&-&0&+&|&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\\dfrac{(x-1)(x+2)}{x}\ge0\Longleftrightarrowx\in[-2;0[\ \cup\ [1;+\infty[\\\\\\\boxed{S=[-2;0[\ \cup\ [1;+\infty[}[/tex]
3) L'inéquation de la question 2 se ramène à celle de la question 1.
[tex]\boxed{\dfrac{(x-1)(x+2)}{x}\ge0}\\\\\dfrac{x^2+2x-x-2}{x}\ge0\\\\\dfrac{x^2+x-2}{x}\ge0\\\\\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{x}{x}-\dfrac{2}{x}\ge0\\\\x+1-\dfrac{2}{x}\ge0\\\\x+1\ge\dfrac{2}{x}\\\\\boxed{\dfrac{2}{x}\le x+1}[/tex]
