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Sagot :
Soit B( 1; 2; 2) , C( 3; 1; -3) et D (2; 4; 2)
1) Vérifier que B, C et D ne sont pas alignés.
vec(BC) (2;-1;-5) et vec(BD) (1;2;0)
les vecteurs ne sont pas colinéaires
donc les droites ne sont pas parallèles
donc (B,C,D) forme bien un plan Euclidien
2) Soit A ( 3; 0 ; 2) et E (1; 1; 1)
La droite (AE) est-elle orthogonale au plan (BCD) ?
vec (AE) (-2;1;-1)
les produits scalaires donnent :
AE.BC=-4-1+5=0 et AE.BD=-2+2+0=0
donc (AE) est orthogonale à (BC) et à (BD)
donc (AE) est orthogonale au plan (BCD)
3) Montrer que B,C,D et E sont coplanaires.
vec (BE) (0;-1;-1)
donc 5 * vec (BE)=vec (BC) -2* vec (BD)
donc les vecteurs BE, BC et BD sont liés
donc B,C,D,E sont coplanaires
4) Quel est le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD) ?
soit H le projeté orthogonale de A sur (BCD)
donc vec (AH) est colinéaire à vec (AE) et H est inclus dans (BCD)
or l'équation cartésienne du plan (BCD) est -2x+y-z+2=0
et l'équation paramétrique de la droite (AE) est
{x=3-2t
{y=t
{z=2-t
donc
-2(3-2t)+t-(2-t)+2=0
donc 6t=6 donc t=1
donc H(1;1;1)
1) Vérifier que B, C et D ne sont pas alignés.
vec(BC) (2;-1;-5) et vec(BD) (1;2;0)
les vecteurs ne sont pas colinéaires
donc les droites ne sont pas parallèles
donc (B,C,D) forme bien un plan Euclidien
2) Soit A ( 3; 0 ; 2) et E (1; 1; 1)
La droite (AE) est-elle orthogonale au plan (BCD) ?
vec (AE) (-2;1;-1)
les produits scalaires donnent :
AE.BC=-4-1+5=0 et AE.BD=-2+2+0=0
donc (AE) est orthogonale à (BC) et à (BD)
donc (AE) est orthogonale au plan (BCD)
3) Montrer que B,C,D et E sont coplanaires.
vec (BE) (0;-1;-1)
donc 5 * vec (BE)=vec (BC) -2* vec (BD)
donc les vecteurs BE, BC et BD sont liés
donc B,C,D,E sont coplanaires
4) Quel est le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD) ?
soit H le projeté orthogonale de A sur (BCD)
donc vec (AH) est colinéaire à vec (AE) et H est inclus dans (BCD)
or l'équation cartésienne du plan (BCD) est -2x+y-z+2=0
et l'équation paramétrique de la droite (AE) est
{x=3-2t
{y=t
{z=2-t
donc
-2(3-2t)+t-(2-t)+2=0
donc 6t=6 donc t=1
donc H(1;1;1)
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