bonjour
Un-U(n+1)=1/2+3/(2n)-1/2 - 3/2(n+1)= 3/2n - 3/(2n+2)
On réduit au même déno: (3(2n+2)-6n)/((2n(2n+2))
ça fait 6/(((2n(2n+2)). 2n>0; 2n+2>0 donc 6/(((2n(2n+2))>0 donc la suite est décroissante
n>0 donc 2n>0 donc 1/2n >0 donc 3/2n>0 donc 1/2+3/2n>1/2 (on ajoute 1/2 dans chaque membre)
2)
Pour 0,49 c'est immédiat puisque qu'on a prouvé que Un>1/2
on veut que 1/2+3/(2n)<0,51, donc que 3/(2n)<0,51-0,5 donc que 3/(2n)<1/100
3<2n/100; 300<2n; 150<n; il faut donc prendre n=151
comme on a montré que Un décroit, qu'elle est toujours supérieur à 1/2 donc à fortiori à 0,49, et qu'à partir du rang 151 elle est inférieure à 0,51, on a montré la propriété.
