1er exercice
Un carreau a une unité de côté, on en déduit que:
AA'=3 BB'=4 A'B'=5
Par Pythagore :
AM²=x²=AA'²+A'M²=9+A'M²
BM²=x²=BB'²+B'M²=16+B'M²
On en déduit que 9+A'M²=16+B'M²
⇔A'M²-B'M²=16-9=7
⇔(A'M+B'M)(A'M-B'M)=7
⇔5(A'M-B'M)=7
⇔A'M-B'M=7/5
Or A'M+B'M=5 donc 2*A'M=7/5+5=32/5 et A'M=16/5 (d'ou B'M=9/5)
2ème exercice
A=xy donc y=A/x
P=x+y=x+A/x
On pose P(x)=x+A/x
P'(x)=1-A/x²
Donc P'(x)<0 si x²<A ⇔ x<[tex] \sqrt{A} [/tex]
P'(x)=0 si x²=A soit x=[tex] \sqrt{A} [/tex]
P'(x)>0 si x²>A ⇔x>[tex] \sqrt{A} [/tex]
Donc P(x) atteint un minimum pour x=[tex] \sqrt{A} [/tex] soit quand x²=A donc quand c'est un carré.
