Réponse :
soit f(x) = 1/x définie sur ]0 ; + ∞[
soient deux réels a > 0 et h ≠ 0 tel que a + h > 0
1) déterminer f(a+h) - f(a) en fonction de h
f(a+h) - f(a) = [1/(a+h)] - 1/a = (a/a(a+h)) - (a + h)/a(a+h) = (a - a - h)/a(a+h)
= - h/a(a + h)
donc f(a + h) - f(a) = - h/a(a + h)
2) en déduire l'expression du taux de variation t(h) de f en a
t(h) = [f(a+h) - f(a)]/h = - h/a(a+h)/h = - h/ah(a+h) = - 1/a(a+ h)
3) que peut-on dire de t(h) lorsque h devient de plus en plus proche de 0
lim t(h) = lim (- 1/a(a+h) = - 1/a²
h→0 h→0
4) justifier alors que f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et exprimer f '(a)
f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ car la lim t(h) = - 1/a² = constante
h→0
donc f '(a) = - 1/a²
5) démontrer que f est dérivable sur ]-∞ ; 0[
il faut lim t(h) = l
h→0
donc lim t(h) = - 1/a²
h→0
donc f '(a) = - 1/a²
Explications étape par étape
