Bonjour,
1)
En [tex]+\infty[/tex], nous savons du cours que
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty[/tex]
Comme
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} (1+1/x)=1[/tex]
On a
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x(1+1/x)}=+\infty[/tex]
d'où la limite de f en [tex]+\infty[/tex] qui est [tex]+\infty[/tex]
Pour x > -1, 1+x>0 f(x) > 0 et
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^+} \dfrac{e^x}{1+x}=+\infty[/tex]
2)
f est dérivable pour x>-1
et pour x > -1
[tex]f'(x)=\dfrac{(1+x)e^x-e^x}{(1+x)^2}=\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}[/tex]
Donc pour -1 < x <0 f'(x) < 0, f est strictement décroissante
f'(0)=0
pour 0 < x f est strictement croissante
f(0)=1
Il ne reste plus qu'à faire le tableau avec toutes ces infos.
Merci
