Bonjour,
1)
Supposons que racine carrée de 2 est un nombre rationnel.
Alors il existe deux entiers relatifs p et q, avec q différent de 0, premiers entre eux tels que
[tex]\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}[/tex]
Il s'agit donc de la forme irréductible, p et q n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
Nous pouvons écrire que
[tex]\sqrt{2}^2=\dfrac{p^2}{q^2} \\ \\<=> 2q^2=p^2[/tex]
Donc [tex]p^2[/tex] est pair.
Montrons que si [tex]p^2[/tex] est pair alors p est pair, en utilisant la contraposée qui est, comme (P=>Q) <=> (non Q => non P)
Si p est impair alors [tex]p^2[/tex] est impair
p impair, il existe k entier relatif tel que p=2k+1 et alors [tex]p^2=2(2k^2+2k)+1[/tex] donc est impair.
De ce fait, il existe un entier relatif k tel que p=2k et alors
[tex]2q^2=4k^2\\\\<=>q^2=2k^2[/tex]
et alors, [tex]q^2[/tex] est pair et donc q est pair.
p et q sont pairs, ce qui contredit que p et q sont premiers entre eux.
Donc on a une contradiction et la racine carrée de 2 est irrationnel.
2)
Raisonnons à nouveau par l'absurde, supposons qu'il existe x et y rationnels tels que [tex]x+\sqrt{2}y=0[/tex] et que x et y sont différents et différents de 0.
Comme
[tex]\sqrt{2}=-\dfrac{x}{y}[/tex]
Nous aboutissons à une contradiction car la racine carrée n'est pas un nombre rationnel alors que l'expression de droite représente un nombre rationnel.
Merci
