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Bonsoir, est-ce que quelqu'un pourrait m'aidez, svp, je n'ai pas compris

Soit a un nombre tel que -1 < a < 0. La suite (Un) définie par Un+1 = Un^2 + Un
1. Etudier le sens de variations de la suite (Un)
2. f est la fonction définie sur R par f(x) = x^2 + x
a) Calculer f'(x) et étudier le variations de la fonction f sur R
b) Démontrer que si x appartient à l'intervalle ]-1;0[, alors il en est de même pour f(x)
c) Démontrer par récurrence que pour tout n appartient N, -1 < Un < 0
3. Etudier la convergence de la suite (Un) et déterminer sa limite si elle existe

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

1.

[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\u_{n+1}-u_n=u_n^2 \geq 0[/tex]

Donc la suite est croissante.

2.

a. f est dérivable sur IR et

f'(x)=2x+1

pour x <= -1/2 f est décroissante car f'(x) est négative

pour x >= -1/2 f est croissante car f'(x) est positive

b.

[tex]-1 < x< 0 <=>\\ \\0 < x+1 < 1 <=>\\ \\-1 < x(x+1) < 0<=>\\ \\-1 < f(x) < 0[/tex]

c.

Nous utilisons cela pour prouver que si la proposition est vraie au rang n alors elle est est vraie au n+1

[tex]-1 < u_n< 0 <=>\\ \\-1 < f(u_n)=u_{n+1} < 0[/tex]

et comme c'est vrai au rang n = 0 car j'imagine que

[tex]u_0=a[/tex]

Donc c'est vrai pour tout n entier

3.

La suite est majorée et croissante donc elle converge

et sa limit l vérifie

[tex]l=l^2+l <=> l^2=0<=>l=0[/tex]

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