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Réponse :
Explications étape par étape
Exercice
On se place dans un repère orthonormé. On considère la droite (d) d'équation 4x + 7y + 10 = 0.
1. Montrer que les points A(-6;2) et B(1;-2) appartiennent à (d).
A(x=-6 ; y= 2) 4(-6) +7(2) + 10 = -24 + 14 +10 = 0
B( 1; - 2) 4(1) + 7(-2) + 10 = 4 -14 + 10 = 0
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (d') parallèle à (d) passant par C(2,16).
(d') 4x + 7y + p = 0.
C ( x= 2 ; y = 16) 4(2) +7(16) + p=0
8 + 112 + p= 0
p = -120
(d') 4x + 7y -120 = 0.
3. Déterminer une équation
cartésienne de la droite (d") perpendiculaire à (d) passant par B.
(d") -7x +4y + p=0
B( 1; - 2) -7(1) + 4(-2) + p=0
-7-8 + p= 0
p = 15
(d") -7x +4y + 15=0
4. Résoudre le système suivant :
4x + 7y - 120 = 0 4x = 120 -7y 28x = 840 - 49y
-7x + 4y + 15 = 0 7x = 4y +15 28x = 16y + 60
donc 16y +60 = 840 -49y
16y + 49y = 840 -60
65 y = 780 y=780/65 = 12
4x =120 - 7(12)= 36 donc x = 36/4 =9
5. En déduire les coordonnées du point d'intersection D de (d') et (d").
D( 9 ;12 ) car 4x + 7y - 120 = 0 est (d') et -7x + 4y + 15 = 0 est (d")
6. un vecteur directeur de (AC). est AC ( 2 - (-6) ; 16 - 2) AC ( 8; 14)
7. Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.
(AB) est (d) d'aprés 1.
(CD) est (d') d'aprés 2. et 5
or (d) // (d')
(BD) est (d") d'aprés 3 et 5 et (d)⊥(d")
de plus un vecteur directeur de (d") est ( 7;4) soit 1/2 AC ( 8;14)
ce qui prouve que (AC) // (BD)
on en deduit que ABDC est un rectangle