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Réponse :
1)
trouves ci dessous la construction de la figure.
On calcul la longueur IP tel que:
Comme la médiatrice (IP) du segment [AB] alors (IP) ⊥ [AB] en I.
on en en déduit que le triangle AIP est rectangle en I
alors on applique l'égalité de Pythagore soit:
AP² = IP² +IB²
or IB = 1/2AB car I milieu du [AB]
alors IP² = AP² - (1/2AB)²
par conséquent IP² = (7.5)² - (1/2x9)² = 36
donc on a IP = √36 or IP est une longueur, alors IP >0
Par conséquent IP = 6 cm
2)
voir construction du point A' sur la figure ci dessous
les droites (PI) et (A'B) sont elles parallèles?
comme les points A',P, A d'une part et B,I,A d'autre part sont alignés dans le même ordre. On verifie si PA/A'A = IA/BA
PA/A'A = PA/(2 x PA)
car propriété symétrie centrale de A par rapport à P, donc A'A = 2 x PA
alors PA/A'A = 1/2
IA/BA = (AB/2) / BA car I milieu de [AB] donc IA = IB
alors IA/BA = 1/2
donc on a bien PA/A'A = IA/BA
Par conséquent les droites (PI) et (A'B) sont parallèles.
3) calcul de la longueur A'B
1ere façon: on utilise l'égalité de Thalès
soit PA/A'A = IA/BA = PI/A'B
alors on en déduit que PI/A'B = 1/2 or PI = 6 cm voir réponse au 1).
donc on a A'B = 2 x PI = 2 x 6 = 12 cm
2eme façon: on utilise l'égalité de Pythagore dans le triangle A'BA rectangle en B
soit A'A² = A'B² + AB²
alors A'B² = A'A² - AB² = (2xA'P)² - AB²
or A'A=2xA'P. Car P milieu [A'A], la symétrie centrale de A par rapport à P.
donc A'B² = (2x7.5)² - 9² = 15² - 9²=144
par conséquent A'B = √144 or A'B est une longueur alors A'B >0 donc
A'B = 12 cm
j'espère avoir pu aider
