Bonsoir,
1. La suite (Vn) est croissante car la fonction f définie par f(x) = (3x-1)/(x+1) est croissante sur R+.
2. a)
[tex]w_{n+1}-w_n=\dfrac{v_{n+1}+1}{v_{n+1}-1}\\\\w_{n+1}-w_n=\dfrac{\dfrac{3v_n-1}{v_n+1}+1}{\dfrac{3v_n-1}{v_n+1}-1}-\dfrac{v_{n}+1}{v_{n}-1}\\\\w_{n+1}-w_n=\dfrac{\dfrac{3v_n-1+v_n+1}{v_n+1}}{\dfrac{3v_n-1-v_n-1}{v_n+1}}-\dfrac{v_{n}+1}{v_{n}-1}\\\\w_{n+1}-w_n=\dfrac{\dfrac{4v_n}{v_n+1}}{\dfrac{2v_n-2}{v_n+1}}-\dfrac{v_{n}+1}{v_{n}-1}[/tex]
[tex]w_{n+1}-w_n=\dfrac{4v_n}{2v_n-2}-\dfrac{v_{n}+1}{v_{n}-1}\\\\w_{n+1}-w_n=\dfrac{2v_n}{v_n-1}-\dfrac{v_{n}+1}{v_{n}-1}0\\\\w_{n+1}-w_n=\dfrac{2v_n-v_n-1}{v_n-1}\\\\w_{n+1}-w_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-1}\\\\w_{n+1}-w_n=1[/tex]
Donc la suite (Wn) est arithmétique de raison égale à 1 et dont le premier terme est [tex]w_0=\dfrac{v_0+1}{v_0-1}=\dfrac{3+1}{3-1}=2[/tex]
[tex]b.\ w_n=w_0+n\times r\\\boxed{w_n=2+n}\\\\w_n=\dfrac{v_n+1}{v_n-1}\\\\2+n=\dfrac{v_n+1}{v_n-1}\\\\(2+n)(v_n-1)=v_n+1\\2v_n-2+nv_n-n=v_n+1\\v_n+nv_n=n+3\\(n+1)v_n=n+3\\\\\boxed{v_n=\dfrac{n+3}{n+1}}[/tex]
[tex]c.\ v_n=\dfrac{n+3}{n+1}\\\\v_n=\dfrac{n+1+2}{n+1}\\\\v_n=\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{2}{n+1}\\\\\boxed{v_n=1+\dfrac{2}{n+1}}[/tex]
[tex]d.\ v_{n+1}-v_n=(1+\dfrac{2}{n+2})-(1+\dfrac{2}{n+1})\\\\v_{n+1}-v_n=1+\dfrac{2}{n+2}-1-\dfrac{2}{n+1}\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{2}{n+2}-\dfrac{2}{n+1}\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{2(n+1)-2(n+2)}{(n+2)(n+1)}\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{2n+2-2n-4}{(n+2)(n+1)}\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{-2}{(n+2)(n+1)}\\\\\boxed{v_{n+1}-v_n<0}[/tex]
La suite (Vn) est donc décroissante.
