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Sagot :
Bonsoir,
II) 1) f est une fonction linéaire puisque sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
L'expression algébrique de f est f(x) = ax.
Le point A(-5 ; -2) appartient à la droite ==> f(-5) = -2
a * (-5) = 2
-5a = 2
a = -2/5
D'où [tex]\boxed{f(x)=\dfrac{2}{5}x}[/tex]
2) g est linéaire ==> g(x) = ax
g(3) = -1
a * 3 = -1
3a = -1
a = -1/3
D'où [tex]\boxed{g(x)=-\dfrac{1}{3}x}[/tex]
3) La représentation graphique de la fonction h est une droite ==> h est une fonction affine.
L'expression algébrique de h est h(x) = ax + b
h(-1) = 4 ===> a * (-1) + b = 4
h(3) = 2 ===> a * 3 + b = 2
ce qui revient au système,
{-a + b = 4
{3a + b = 2
Soustrayons la première équation de la seconde.
(3a + b) - (-a + b) = 2 - 4
3a + b + a - b = -2
4a = -2
a = -2/4
a = -0,5
Remplaçons a par 0,5 dans l'équation -a + b = 4
-(-0,5) + b = 4
0,5 + b = 4
b = 4 - 0,5
b = 3,5
D'où [tex]\boxed{h(x)=0,5x+3,5}[/tex]
III) 1) a) Si x est la somme placée, alors après 1 an cette somme vaudra x+0,03*x,
soit 1*x + 0,03*x
soit (1 + 0,3) * x
soit 1,03 x
La fonction linéaire f permettant de trouver, connaissant la somme placée x, la somme obtenue y au bout d'un an est définie par f(x) = 1,03 x.
b) Si on place 3500 €, quelle somme a-t-on au bout d'un an ?
f(3500) = 1,03 * 3500
f(3500) = 3605.
Si nous plaçons 3500 €, nous aurons 3605 € après un an.
c) Si on veut avoir 2369 € au bout d'un an, quelle somme doit-on placer ?
Résoudre 1,03 x = 2369
x = 2369 / 1,03
x = 2300.
Pour avoir 2369 € au bout d'un an, il faut placer 2300 €.
2) a) Si x est le prix initial avant les soldes, alors le prix soldé est x - 0,65*x,
soit 1*x - 0,65*x
soit (1 - 0,65) * x
soit 0,35 x
La fonction linéaire g permettant de trouver le prix payé y en fonction de l'ancien prix x est définie par g(x) = 0,35 x.
b) Quel est le prix payé d'un objet qui coûtait 420 € ?
g(420) = 0,35 * 420
g(420) = 147
Le prix payé d'un objet qui coûtait 420 € est égal à 147 €
c) Quel est l'ancien prix d'un objet payé 77 euro ?
Résoudre l'équation 0,35 x = 77
x = 77 / 0,35
x = 220
L'ancien prix d'un objet payé 77 € est égal à 220 €.
3) Une voiture à 13500 € est payée 9720 €. Calculer le pourcentage de la remise.
La fonction linéaire h permettant de trouver le prix payé y en fonction de l'ancien prix x est définie par h(x) = ax
Or h(13500) = 9720
a * 13500 = 9720
a = 9720 / 13500
a = 0,72.
D'où h(x) = 0,72 x.
Par conséquent le prix payé représente 72 % du prix initial, ce qui correspond à une remise de 100 % - 72 % = 28 %.
Le pourcentage de la remise est de 28 %.
IV) 1) Par Pythagore dans le triangle SOA rectangle en o,
OA² + SO² = SA²
OA² + 4² = 6²
OA² + 16 = 36
OA² = 36 - 16
OA² = 20
OA = √20 = √(4*5) = √4 * √5
OA = 2√5 ≈ 4,47 cm
Le rayon [OA] de la base mesure 2√5 cm ≈ 4,47cm.
2) La volume du cône est donné par la formule [tex]V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times R^2\times h[/tex],
soit [tex]V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times OA^2\times SO\\\\V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 20\times 4\\\\V=\dfrac{80\pi}{3}\approx 83,8[/tex]
Le volume du cône est égal à 80π/3 cm^3, soit environ 83,8 cm^3.
3) L'angle de développement en degrés du cône est donné par [tex]\dfrac{OA}{SA}\times360^o[/tex],
soit [tex]\dfrac{2\sqrt{5}}{6}\times360^o\approx 268,3^o[/tex]
La mesure de l'angle de développement du cône vaut environ 268,3°.
4) Dans le triangle rectangle SOA,
[tex]\cos(\widehat{OSA})=\dfrac{SO}{SA}\\\\\cos(\widehat{OSA})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\\\\\widehat{OSA}=\cos^{-1}(\dfrac{2}{3})\\\\\widehat{OSA}\approx 48,2^o[/tex]
La mesure de l'angle au sommet du cône = 2 * OSA
≈ 2 * 48,2°
≈ 96,4°
La mesure de l'angle au sommet du cône ≈ 96,4°
5) Le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit est égal à SO' / SO = 1/4
Le coefficient de réduction est 1/4.
6) O'A' = (1/4) * OA
O'A' = (1/4) * 2√5
O'A' = (√5) / 2
7) Si lors de la réduction, les longueurs sont divisées par 4, alors les volumes sont divisés par [tex]4^3[/tex], soit par 64.
Volume du petit cône = [tex]\dfrac{1}{64}\times\dfrac{80\pi}{3}\approx 1,3[/tex]
Le volume du petit cône mesure environ 1,3 cm^3.
II) 1) f est une fonction linéaire puisque sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
L'expression algébrique de f est f(x) = ax.
Le point A(-5 ; -2) appartient à la droite ==> f(-5) = -2
a * (-5) = 2
-5a = 2
a = -2/5
D'où [tex]\boxed{f(x)=\dfrac{2}{5}x}[/tex]
2) g est linéaire ==> g(x) = ax
g(3) = -1
a * 3 = -1
3a = -1
a = -1/3
D'où [tex]\boxed{g(x)=-\dfrac{1}{3}x}[/tex]
3) La représentation graphique de la fonction h est une droite ==> h est une fonction affine.
L'expression algébrique de h est h(x) = ax + b
h(-1) = 4 ===> a * (-1) + b = 4
h(3) = 2 ===> a * 3 + b = 2
ce qui revient au système,
{-a + b = 4
{3a + b = 2
Soustrayons la première équation de la seconde.
(3a + b) - (-a + b) = 2 - 4
3a + b + a - b = -2
4a = -2
a = -2/4
a = -0,5
Remplaçons a par 0,5 dans l'équation -a + b = 4
-(-0,5) + b = 4
0,5 + b = 4
b = 4 - 0,5
b = 3,5
D'où [tex]\boxed{h(x)=0,5x+3,5}[/tex]
III) 1) a) Si x est la somme placée, alors après 1 an cette somme vaudra x+0,03*x,
soit 1*x + 0,03*x
soit (1 + 0,3) * x
soit 1,03 x
La fonction linéaire f permettant de trouver, connaissant la somme placée x, la somme obtenue y au bout d'un an est définie par f(x) = 1,03 x.
b) Si on place 3500 €, quelle somme a-t-on au bout d'un an ?
f(3500) = 1,03 * 3500
f(3500) = 3605.
Si nous plaçons 3500 €, nous aurons 3605 € après un an.
c) Si on veut avoir 2369 € au bout d'un an, quelle somme doit-on placer ?
Résoudre 1,03 x = 2369
x = 2369 / 1,03
x = 2300.
Pour avoir 2369 € au bout d'un an, il faut placer 2300 €.
2) a) Si x est le prix initial avant les soldes, alors le prix soldé est x - 0,65*x,
soit 1*x - 0,65*x
soit (1 - 0,65) * x
soit 0,35 x
La fonction linéaire g permettant de trouver le prix payé y en fonction de l'ancien prix x est définie par g(x) = 0,35 x.
b) Quel est le prix payé d'un objet qui coûtait 420 € ?
g(420) = 0,35 * 420
g(420) = 147
Le prix payé d'un objet qui coûtait 420 € est égal à 147 €
c) Quel est l'ancien prix d'un objet payé 77 euro ?
Résoudre l'équation 0,35 x = 77
x = 77 / 0,35
x = 220
L'ancien prix d'un objet payé 77 € est égal à 220 €.
3) Une voiture à 13500 € est payée 9720 €. Calculer le pourcentage de la remise.
La fonction linéaire h permettant de trouver le prix payé y en fonction de l'ancien prix x est définie par h(x) = ax
Or h(13500) = 9720
a * 13500 = 9720
a = 9720 / 13500
a = 0,72.
D'où h(x) = 0,72 x.
Par conséquent le prix payé représente 72 % du prix initial, ce qui correspond à une remise de 100 % - 72 % = 28 %.
Le pourcentage de la remise est de 28 %.
IV) 1) Par Pythagore dans le triangle SOA rectangle en o,
OA² + SO² = SA²
OA² + 4² = 6²
OA² + 16 = 36
OA² = 36 - 16
OA² = 20
OA = √20 = √(4*5) = √4 * √5
OA = 2√5 ≈ 4,47 cm
Le rayon [OA] de la base mesure 2√5 cm ≈ 4,47cm.
2) La volume du cône est donné par la formule [tex]V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times R^2\times h[/tex],
soit [tex]V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times OA^2\times SO\\\\V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 20\times 4\\\\V=\dfrac{80\pi}{3}\approx 83,8[/tex]
Le volume du cône est égal à 80π/3 cm^3, soit environ 83,8 cm^3.
3) L'angle de développement en degrés du cône est donné par [tex]\dfrac{OA}{SA}\times360^o[/tex],
soit [tex]\dfrac{2\sqrt{5}}{6}\times360^o\approx 268,3^o[/tex]
La mesure de l'angle de développement du cône vaut environ 268,3°.
4) Dans le triangle rectangle SOA,
[tex]\cos(\widehat{OSA})=\dfrac{SO}{SA}\\\\\cos(\widehat{OSA})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\\\\\widehat{OSA}=\cos^{-1}(\dfrac{2}{3})\\\\\widehat{OSA}\approx 48,2^o[/tex]
La mesure de l'angle au sommet du cône = 2 * OSA
≈ 2 * 48,2°
≈ 96,4°
La mesure de l'angle au sommet du cône ≈ 96,4°
5) Le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit est égal à SO' / SO = 1/4
Le coefficient de réduction est 1/4.
6) O'A' = (1/4) * OA
O'A' = (1/4) * 2√5
O'A' = (√5) / 2
7) Si lors de la réduction, les longueurs sont divisées par 4, alors les volumes sont divisés par [tex]4^3[/tex], soit par 64.
Volume du petit cône = [tex]\dfrac{1}{64}\times\dfrac{80\pi}{3}\approx 1,3[/tex]
Le volume du petit cône mesure environ 1,3 cm^3.
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