Bonsoir,
Le triangle ABC est rectangle en A.
D'une part, nous avons :
[tex]\cos(\widehat{ACB}) = \dfrac{3}{5}\\\\\dfrac{AC}{BC}= \dfrac{3}{5}\\\\5\times AC=3\times BC[/tex]
D'autre part,
[tex]\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{4}{5}\\\\\dfrac{AB}{BC}= \dfrac{4}{5}\\\\5\times AB=4\times BC[/tex]
Divisons les résultats entre eux.
[tex]\dfrac{5\times AC}{5\times AB}=\dfrac{3\times BC}{4\times BC}\\\\\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}\\\\3\times AB=4\times AC\\\\3\times AB-4\times AC=0[/tex]
On sait de plus que AB + AC = 2.
Résolvons le système : [tex]\left\{\begin{matrix}3\times AB-4\times AC = 0\\AB+AC=2\end{matrix}\right.[/tex]
Multiplions la 2ème équation par 4.
[tex]\left\{\begin{matrix}3\times AB-4\times AC = 0\\4\times AB+4\times AC=8\end{matrix}\right.[/tex]
Additionnons ces équations entre elles.
[tex](3\times AB-4\times AC)+(4\times AB+4\times AC)=0+8\\\\3\times AB-4\times AC+4\times AB+4\times AC=8\\\\7\times AB=8\\\\\boxed{AB=\dfrac{8}{7}}[/tex]
Remlaçons AB par 8/7 dans l'équation AB + AC = 2.
[tex]\dfrac{8}{7}+AC=2\\\\AC=2-\dfrac{8}{7}\\\\AC=\dfrac{14}{7}-\dfrac{8}{7}\\\\\boxed{AC=\dfrac{6}{7}}[/tex]
Par Pythagore dans le triangle rectangle ABC,
BC² = AB² + AC²
BC² = (8/7)² + (6/7)²
BC² = 64/49 + 36/49
BC² = 100/49
BC = √(100/49)
[tex]\boxed{BC=\dfrac{10}{7}}[/tex]
[tex]\boxed{AB=\dfrac{8}{7}\ ;\ AC=\dfrac{6}{7}\ ;\ BC=\dfrac{10}{7}}[/tex]
