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bonjour est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour mon dm s'il vous plait
trouver l'ensemble des points m tels que MA²-MB²=8 et AB=4
 
merci d'avance a ceux qui pourront

Sagot :

Bonjour,

Soit I le milieu de [AB]

[tex] MA^2-MB^2=8\\(\vec{MI}+\vec{IA})^2-(\vec{MI}+\vec{IB})^2=8\\(MI^2+ 2\vec{MI}.\vec{IA} + IA^2)-(MI^2 + 2\vec{MI}.\vec{IB} + IB^2)=8\\MI^2+ 2\vec{MI}.\vec{IA} + IA^2-MI^2 - 2\vec{MI}.\vec{IB} - IB^2=8\\ IA^2-IB^2 +2\vec{MI}.\vec{IA} - 2\vec{MI}.\vec{IB} =8\\ IA^2-IB^2 +2\vec{MI}.(\vec{IA} - \vec{IB}) =8 \\ 0 +2\vec{MI}.(\vec{IA} - \vec{IB}) =8 \\2\vec{MI}.(\vec{IA} - \vec{IB}) =8 \\2\vec{MI}.(\vec{IA} + \vec{BI}) =8 [/tex]

[tex]2\vec{MI}.(\vec{BI} + \vec{IA}) =8\\2\vec{MI}.\vec{BA} =8\\ 2\vec{IM}.\vec{AB} =8 [/tex]

Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB)
Alors :
[tex]2\vec{IM}.\vec{AB} =8\\2\vec{IH}.\vec{AB} =8\\2\times IH\times AB =8\\IH\times AB =4\\IH\times 4 =4\\IH=\dfrac{4}{4}\\IH=1[/tex]

L'ensemble des points M tels que MA² - MB² = 8 et AB = 4 est une droite perpendiculaire à (AB) passant par H.
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