Exercice 1 : Le sablier
Un sablier est constitué de 2 cônes identiques, ici la hauteur des 2 cônes est 12cm donc la hauteur h d'un cône est :
h = 12/2 = 6 cm
On sait que le diamètre du cône est 5cm donc le rayon r est :
r = D/2 = 5/2 = 2,5 cm
Calculons le volume total du bas du sablier donc du cône du bas:
Vcône = Aire base x hauteur/3
Vcône = Pi r² x h/3
Vcône = Pi x 2,5² x 6/3
Vcône = Pi 6,25 x 2
Vcône = Pi 12,5 cm3
Le sable occupe 2/3 du volume du cône donc
Vsable = Pi 12,5 x 2/3
Vsable = Pi 25/3
Vsable = 26 cm3 (valeur arrondie)
Exercice 2 : Le toit
Calcul de la surface du toit.
Comme la base pyramide formée par le toit est un rectangle les 4 faces triangulaire de la pyramide sont les faces sont identiques 2 à 2.
Calcul de la longueur des cotés des 4 triangles
Vor schéma :
dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC² = 15²+10² = 225+100 = 325
AC = V325 = 18 m (V se lit racine carré de)
Or AC = AO + OC
et AO = OC
donc AC = 18
d'où
2AO = 18
AO = 18/2 = 9 m
Dans le triangle SOA, rectagle en O, d'après le théorème de Pythagore :
SA² = OA² + SO² = 9²+4² = 81+16 = 97
d'où SA = V97 = 9,85 m
Comme le toit est une pyramide : SA = SB = SC = SD = 9,85 m
Calcul de l'aire d'une face triangulaire de base 10 m
Dans le triangle SCB, la hauteur [SH] du triangle coupe [BC] en son milieu
Calculons SH
Le triangle SBH est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore :
SB² = SH²+HB²
97 = SH² + (10/2)²
97 = SH² +5²
SH² = 97-25 = 72
d'où
SH = V72 = 8,49 m
donc Aire de SBC = SH x BC/2 = 8.49 x 10/2 = 8,49 x 5 = 42,45 m²
Calcul de l'aire d'une face triangulaire de base 15 m
Dans le triangle SAB, la hauteur [SH'] du triangle coupe [AB] en son milieu
Calculons SH'
Le triangle SAH' est rectangle en H' donc d'après le théorème de Pythagore :
SA² = SH'²+HA²
97 = SH'² + (15/2)²
97 = SH'² +7,5²
SH'² = 97-56,25 = 40,75
d'où
SH' = V40,75 = 6,39 m
donc Aire de SAB = SH' x AB/2 = 6,39 x 15/2 = 6,39 x 7,5 = 47,93 m²
Surface totale du toit:
Aire toit = 2 x Aire de SBC + 2 x Aire de SAB
Aire toit = 2 x (Aire de SBC + Aire de SAB)
Aire toit = 2 x (42,45 + 47,93)
Aire toit = 2 x 90,38
Aire toit = 180,76 soit 181 m²
Calcul de la surface couverte par une tuile :
Aire tuile = 0.20 x 0.35 = 0.07 m²
0.07 m² couvert avec 1 tuile
181 m² couvert avec 181/0.07 = 2585,72 soit en tout : 2586 tuiles.
Exercice 3 : l'assaut.
a) le triangle formé par le mur (M),le fossé (F) et l'échelle (E) est un triangle rectangle ou l'échelle est l'hypoténuse.
Donc d'après le théorème de Phytagore :
E² = M² + F²
E² = 5²+3²
E² = 25+9
E² = 34
d'où
E = V34 = 5,83
L'échelle doit mesurer, au minimum, 5,83 m
l'inclinaison est la valeur de l'angle formé par le fossé et l'échelle.
Le triangle est rectangle donc
sin(Angle) = coté opposé à l'angle/ hypoténuse
sin(angle) = M/E
sin(angle) = 5/5.83
d'où
angle = 59° (arrondi au degré près)
b)sin(Angle) = coté opposé à l'angle/ hypoténuse
sin(angle) = M/E
sin(25°) = 5/E
d'où
E = 5/sin(25°)
E = 11,83 m
L'échelle doit alors faire 11,83 m
cos(angle) = coté adjacent à l'angle/hypothénuse
cos(25°) = F/E
cos(25°) = F/11,83
d'ou F = 11,83*cos(25°)
F= 10,72 m
L'extrémité de l'echelle doit se trouver à 10,72 m du château.
Bonus
Voir fichier joint.
Au départ C et D sont confondu
en 10 min on fait 1 tour onc l'angle COD = 360°
en 6 min l'angle COD = 6x360/10 = 216°
Quand la roue à fait la moitié d'un tour l'angle COM = 180°
Donc l'angle MOC = 216-180 = 36°
Dans le triangle MOC, la hauteur issue de H coupe MO en H.
Donc le triangle OHC est rectangle en H.
OC est un rayon de la roue donc OC = 60/2 = 30 m
Donc
cos(36°) = OH/OC
OH = OC cos(36°)
OH = 30 x cos(36°)
OH = 24 m (arrondi au m)
La hauteur de la cabine est donc DO + OH = 30 + 24 = 54 m
