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Sagot :
Réponse : Bonjour,
La première personne serre la main à (n-1) personnes, donc n-1 poignées de main.
La deuxième personne serre la main aussi à (n-1) personnes, mais on ne compte pas la poignée de main, avec la première personne, et ainsi de suite.
La n ième personne aura serré la main à (n-1) personnes, mais ces poignées de main ont déjà été compté.
Donc le nombre de poignées de mains total est:
[tex](n-1)+(n-2)+...+1=n(n-1)-(1+2+...+(n-1))[/tex]
Or la somme [tex]1+2+...+(n-1)[/tex] est la somme d'une suite arithmétique de premier terme 1, et de raison 1, et on a:
[tex]\displaystyle (n-1) \times \frac{1+(n-1)}{2}=(n-1) \times \frac{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle (n-1)+(n-2)+...+1=n(n-1)-\frac{n(n-1)}{2}=(n-1)\left[n-\frac{n}{2}\right]=\frac{n}{2}(n-1)[/tex]
Donc il faut résoudre l'équation:
[tex]\displaystyle \frac{n}{2}(n-1)=7260\\\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n-7260=0[/tex]
On a:
[tex]\displaystyle \Delta=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times (-7260)=\frac{1}{4}+14520=14520,25\\n_{1}=\frac{0,5-120,5}{1}=-120\\n_{2}=\frac{0,5+120,5}{1}=121[/tex]
La solution [tex]n_{1}[/tex] n'est pas possible car un nombre de personnes est forcément positif, donc le nombre de personnes présentes à l'assemblée est 121.
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