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On dispose d'une feuille rectangulaire. on peut l'enrouler de deux facons differentes, pour obtenir un cylindre: Dans le sens de la longueur, ou dans le sens de la largeur, quelle est le cylindre qui a le plus grand volume ?

Sagot :

Caylus
Bonjour,
soit a et b avec 1<a<b les deux dimensions de la feuille.
On note Vx le volume formé avec la base de périmètre x.
a<b =>Va<Vb car le rayon intervient au carré dans la formule du volume.
Bonjour,
Soit L et l la longueur et la largeur.
Si on l'enroule dans le sens de la longueur, L est le périmètre de la base et l sa hauteur.
Calculons le rayon de la base
L=2pi*r donc r=L/2pi
Soit V1 le volume, V1=pi*r²*l=pi*(L²/4pi²)*l=L²*l/4pi
de même V2=l²*L/4pi
Pour comparer les 2 volumes on va étudier le signe de leur différence
V1-V2= L²*l/4pi-l²*L/4pi
ce qui revient à étudier le signe de L²l-l²L
L²l-l²L=Ll(L-l)
Ll>0 et L-l>0 puisque L>l donc V1>V2
Le volume le plus grand est donc obtenu en enroulant dans le sens de la longueur.



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