Soit I le pied de la hauteur issue de G sur EF dans le triangle GEF
DEF est équilatéral donc son périmètre est égal à 3 fois son côté.
Donc DE=18/3=6cm
La hauteur issue de F dans DEF coupe DE en J. Dans un triangle équilatéral, la hauteur est confondue avec la médiatrice donc J est le milieu de DE. FJD est rectangle en J donc :
FD²=FJ²+JD²
On a FD=DE=6 et JD=DE/2=3 donc
FJ²=FD²-JD²=6²-3²=36-9=27
Donc FJ=[tex] \sqrt{27}=3 \sqrt{3} [/tex]
L'aire de DEF est donc 1/2*DE*FJ=1/2*6*[tex]3 \sqrt{3} [/tex]=[tex]9\sqrt{3} [/tex]
L'aire de GDF est 1/2*DG*FJ=1/2*6/[tex]3 \sqrt{3} [/tex]=[tex]9\sqrt{3} [/tex]
L'aire de GEF = Aire de DEF + Aire de GDF = [tex]18 \sqrt{3} [/tex]
Or Aire de GEF=1/2*EF*GI
EF=6 donc Aire de GEF=3*GI
On en déduit que 3*GI=[tex]18 \sqrt{3} [/tex]
Donc GI=[tex]6 \sqrt{3} [/tex]
