Bonjour,
le carré du module de z est
[tex]5^2+3\cdot 5^2=25\cdot 4 = 100=10^2[/tex]
Donc, faire un dessin
[tex]z=10\left(-\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)=10e^{i\dfrac{4\pi}{3}}[/tex]
2.
Comme
[tex]\dfrac{4\pi}{3}\times 9 = 12\pi\\\\e^{i12\pi} = 1\\\\z^9=10^9[/tex]
3.
[tex]\dfrac{100}{z^2}=\dfrac{100}{100e^{i8\pi/3}}\\\\=e^{-i8\pi/3}\\\\\dfrac{\overline{z}}{z}=e^{-i4\pi/3-i4\pi/3}=e^{-i8\pi/3[/tex]
D'ou l'égalité.
4.
[tex]13*4=52=48+4=16*3+4\\\\13*4\pi\3=16\pi+4\pi/3\\\\z^{13}=10^{13}e^{i4\pi/3} \\\\z'=iz^13=10^{13}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i)[/tex]
